平方数でない整数の平方根は無理数であることの証明

質問

すみません。高齢者なので使用する文字はすべて正の整数とします。
整数の平方根で整数になるのは1,4,9,16のような平方数だけです。例えば5の平方根を考えた場合、
4の平方根は2、　9の平方根は3ですから、5の平方根は2と3の間の数となり絶対に整数にはなりません。以上は単なる確認です。
そこで平方数ではない整数をaとします。これの平方根を√aと表記します。確認通り√aは整数にはなりません。この非平方数の平方根が分数で表現できるかどうかが問題です。
√a=n/mと分数で表現できるとします。ここでｎとｍは互いに素であるとし、当然ｍ≠1です。
両辺を2乗すると　　a＝ｎ2/ｍ2　となります。ここでaは整数です。ｎ2とｍ2にも共通の約数はないので、ｎ2/ｍ2は整数にはなりません。すると左辺は整数、右辺は小数（小数点以下が0ではない純粋の小数）になるのでこれは矛盾です。従って平方数ではない整数の平方根は全て無理数である。
質問は、こんなに簡単な証明でいいのだろうか？基本的なところで考え方に穴があるのではないだろうか？ということです。ご教示願います。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

証明の方針は、そうやるのが普通です。
間違いは何もありませんが、穴はあるような気がします。
「ｎ2/ｍ2は整数にはなりません」の根拠が
この証明の本質なので、そこを書かなくてはマズいでしょう。
もう少し、加筆しましょう。

お礼

ありがとうございます。
ｎ2はｎ×ｎ、ｍ2はｍ×ｍです。ｎとｍには共通の約数が無いので（ｎ×ｎ）/（ｍ×ｍ）でも分母、分子に共通の約数はありえないと考えます。またｍ≠1なのでｍ2≠1、かつｎ≠ｍなのでｎ2≠ｍ2です。
従ってｎ2/ｍ2は整数にはならないとしました。

回答No.4

Gracies

基本的に、有理数と表現する場合には、有理小数又は循環する無限小数を含む
小数だけとは限らず、正の整数を含めて、分数で表現することのできるものも、
広義には含むと考えております。
何故ならば、有理数1とは、1/1のでも表現され、同時に、16/16でもあり、n/n
でもあります。また、平方数で考えれば、１は、１の2乗/１の2乗と表現するこ
ともできます。同時に乗数で考えれば、2の0乗/2の0乗も１。さらに、無理数
ｎ/無理数nしかも、その平方根は、±１で、整数となりますから、厳密にいう
と、最初の命題が、崩れると思います。
そこで、質問にあるように、【高齢者】ではなく、命題の前提条件を『平方数
を含まない正の整数で、かつ、乗数表現や無理数を含めて、分母分子が互いに
素となり、約分すると±１となる場合を除く正の整数』とすれば、求めたい証
明を導くことの可能な正確な命題になるのではないでしょうか。
故に、数学の歴史的人物プラトンが、彼の著書『テアイテトス』の中で論じた
様に、『平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じることができれば、
この質問の解が、より正確になると思います。

お礼

厳密な条件設定ありがとうございます。ただ平方数ではない正の整数は必ず平方数と次の平方数の間にあるわけだから、平方根が整数になることはありえないと考えたのが私の説明のポイントでした。しいていえば平方根というより？正の√2、√3、√5、√6、√7、√8、√10、√11・・・が絶対に整数になることはなく、かつ分数でも表現できないということを一つ一つ証明しなくてもいい方法は無いのかというのが私の単純な動機でした。

回答No.2

Gracies

＞平方数ではない整数の平方根は全て無理数である。

　基本的に、平方数とは、平方数（square number）とは、ある整数の2乗（平方）で表される整数の ことですね。
　ということは、この質問の大前提として、乗数によって得られる整数を想定している場合とも考えられます。考え過ぎですかねぇ？

　となると、０乗で表されるものもあれば、３乗で表されるものもあれば、４乗で表されるものもあれば、・・・と続く整数が含まれますね。
　ですから、例えば、『１６』という数字を考えてみて下さい。
　１６は、４の平方数でもありますが、２の４乗数でもあります。つまり二重平方数。
　また１６の２乗は、４の４乗数でもありますが、２の８乗数でもあります。つまり『２５６』という整数です。
　つまり、２の８乗で表される正の整数２５６の平方根は、１６で整数です。
　広義には、何かの平方数と考えれば、ご質問者のようにも考えられますが、質問と、解法が、部分的なので、これらをひとまとめにして良いかどうかという点については、若干、疑問が残りますね。
　数学というのは、いろいろな表現の方法の違いを表すとことの思考の美学の面もあると思うからです。

　　ところで、平方数ではないとありますから、平方数の整数の場合も考えましょう。
　　１の２乗は平方数で、しかも整数です。但し、この平方根は、無理数です。
　　aの０乗は、１です。１は正の整数です。但し、その平方根は、無理数です。
　　平方数の０乗で得られる整数の平方根には、無理数のものもある、ということになりませんか？

　結論　∴平方数でない正の整数の平方根は、無理数であるとは限らない。
　　　　と考えるのはへ理屈でしょうか？

お礼

いろいろな考えがあることがわかりました。ただ「１の２乗は平方数で、しかも整数です。但し、この平方根は、無理数です。」の意味がわかりません。

回答No.1

stomachman

完璧。

お礼

高校の時に習った√2の無理数証明が、わかるけど何かしっくりしない、それと√3以上は？という疑問を持ったことを思い出し考えてみました。高齢になり頭の体操と思っていろいろやってます。ありがとうございます。