数学の証明問題

質問

数学の論証問題の解き方を教えてください。『次のような条件を満たす集合Aがある。
(i)Aの要素は正の実数である。
(ii)Aは少なくとも2つの要素をもつ。
(iii)p∈A、q∈Aでp≠qならば、
p/q∈Aである。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えるという問題です。
(1)Aは無数に多くの要素をもつことを示す。
(2)1 ∈A、2 ∈Aであるとき、全ての整数nに対して、2^n ∈Aであることを示す。』

以下に自分の解いた過程を書いておきます。
間違っている箇所などのご指摘をお願いします。
(1)Aの要素の個数が有限個であると仮定する。この時、最大の要素をa、最小の要素をbとする。a>1のとき、b/a∈Aなのでbより小さい要素がある。a<1のとき、b/a∈Aなのでaより大きい要素がある。これは最大をa、最小をbとしたことと矛盾する。したがって、Aは無数に多くに要素を持つ。(証明終)
(2)数学的帰納法で示す。n=1のとき、2∈Aで成立する。n=kのときに成立すると仮定すると、2^k∈A、2∈Aより、2^k/2=2^(k－1)∈A
k→∞で考えていいので全ての整数nについて2^n∈Aが成立する。(証明終)

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

(1)は、まず a=1の場合が抜けている。（これはよく考えれば a<1の場合に混ぜることが出来る。）2点目に、a<1の時に、「aより大きい要素がある」ことを示すのはいいんですが、「b/a∈Aなので」というのは理由にならない。b/aはaより大きくなるか分からない。実際、a = 1/2, b = 1/8 の時に b/a = 1/4 < a 。

(2)は帰納法なら、n=kの時整理するなら n=k+1の時に成立することを示さないといけないが、2^(k-1)∈Aとなっていて、k-1の場合となっていて、帰納法の使い方として正しくない。
それと、「すべての『整数』nに対して」なので、nが負の場合も示す必要がある。

回答No.4

kiha181-tubasa

（１）の証明おいて
＞a<1のとき、「b/a∈A」なのでaより大きい要素がある
の「　」内は
「a/b∈A」の書き違いではないですか。
そうすると，
a/b-1=(a-b)/b>0
a/b>1
１より大きい（つまりaより大きい）要素がある。
となりますから。

このことから，（１）の証明方法は正しいと思います。

（２）について
「「k→∞」と考えてよいので」のところが証明すべきものだと思います。（２）の証明は次のようにしたらいかがでしょうか。
まず
1∈A,2∈Aだから1/2∈A
である。

n=k のとき2^k∈Aと仮定すると
1/2∈Aであるから
2^k/(1/2)=2^k*2=2^(k+1)∈A
ゆえにn=kの時に成り立つと仮定するとn=k+1の時も成り立つ

数学的帰納法によりすべての自然数nについて2^n∈Aが成り立つ。

ではいかがでしょうか。

回答No.3

muturajcp

(1)
Aの要素の個数が有限個であると仮定する。
この時、最大の要素をa、最小の要素をbとする。
(ii)Aは少なくとも2つの要素をもつから
a>b
b∈A、a∈Aでb≠aだから(iii)から
b/a∈A
a>1と仮定すると
1>1/a
↓bは正の実数だから
b>b/a∈A
なのでbより小さい要素があるので
bが最小である事に矛盾するから
a≦1
↓b<aだから
b<a≦1
b<1
1<1/b
↓aは正の実数だから
a<a/b∈A
なのでaより大きい要素があるので
aが最大である事に矛盾する。
したがって、Aは無数に多くの要素を持つ。

(2)
P(n)=[2^n∈A]
とする
P(0)=[2^0=1∈A]は真
P(1)=[2^1=2∈A]は真
ある整数kに対して
P(k)が真と仮定する
2^k∈A
2∈A
だから
2^(k-1)=(2^k)/2∈A
だから
P(k-1)=[2^(k-1)∈A]は真
2^0=1∈Aだから
2^(0-1)=2^(-1)∈A

2^k∈A
2^(-1)∈A
だから
2^(k+1)=2^k/2^(-1)∈A
だから
P(k+1)=[2^(k+1)∈A]は真

P(k)が真→[P(k-1)は真]&[P(k+1)は真]
だから
全ての整数nについて2^n∈A

回答No.1

f272

(1)
「a<1のとき、b/a∈Aなのでaより大きい要素がある」なぜですか？根拠がわかりません。
またa>1とa<1のときしか言っていませんが，a=1のときはどうなるのですか？
(2)
「k→∞で考えていいので」どうして考えていいのですか？根拠がわかりません。