負の平方根同士のかけ算が正の数にならない理由

質問

負の平方根同士のかけ算が正の数にならない理由について、
複素幾何の方法ではなく、代数的方法で色々考えてみたのですが、

(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)
が成り立つための必要条件が、(a)^(1/2) >0 , (b)^(1/2) > 0
であり、
kを正の実数とおく時、
(-k)^(1/2) は実数と大小比較できないことが証明できるから(※)、
平方根の乗法の公式を適用することができない

という説明で数学的にあってますでしょうか。

※:(-k)^(1/2)>p>0または(-k)^(1/2)<(-p)<0とおいて全体二乗して矛盾が発生することから導く

回答No.6

noname#175206

>負の平方根同士のかけ算が正の数にならない理由

　その前段として、負の数の平方根を虚数にせず、そのまま許すとどうなるかということを解決しておかねばなりません。

　√-1＝√√(-1^2)＝√1

　上記の状況は根号の内部の正負によらず、値が同じになることを示しています。

　一方、負の数の平方根は直ちに虚数を使うと決めると、以下のようになります。

　√-1＝i＝√(i^2)＝√-1

　この場合は、根号の内部の正負は保持されます。

　これのどちらが数学に矛盾をもたらすかは、明らかと言えるでしょう。

補足

回答ありがとうございます。

>>これのどちらが数学に矛盾をもたらすかは、明らかと言えるでしょう。

明らかでしょうか?　義務教育を受けていれば自明に理解できる内容だとは思われないのですが…

回答No.5

Tacosan

ちょっと気になった.

#4 への補足で「アンフェア」と言ってるけど, 実は #4 の指摘は本質をついている. そもそも「平方根」が乗算と両立するように定義されているわけではない (つまり √(ab) = (√a)(√b) となることは定義に組込まれていない) のだから, 「本当は成り立たないんだけど特定の条件を満たせば成り立つ」と考える方が自然.

補足

その特定の条件は何でしょうか?
(√a) ≧ 0 , (√b) ≧0　の時、成立するというのは証明可能です。
(実数の正負のかけ算の話)
では、それ以外の時、成立しない理由を示すにはどうすればいいでしょう。
(一般には成り立ちません、というのはそのとおりだと思いますが、その理由は説明するべきだと思います。全然違う話ですが、1/2+1/3=1/5で「ない」理由、2^2*3^2=6^2で「ない」理由を示さないと、理解できない人はたくさんいるように、√a*√b=√abで「ない」理由を示さないといけないと考えます。)

(この質問の中に答えが隠れていて、√a<0の時、それは実数でないから成立するとは言えない、でもいいのですが、そうすると、でも成立しないとも言えない、という曖昧な状況になってしまいます。)
(では虚数のかけ算とは何ぞや、ということになって、複素平面の話に持って行くコトは可能ですが、その流れを避けようとしています。)

回答No.4

kabaokaba

＃まさかとは思いますが・・・高校の先生？？
＃そうだとすると・・なにをかいわんや

中学校の教科書をもう一度見直しましょう
巧妙にいろいろな問題を回避すべく書いてあることがわかるでしょう

>高校で、複素数の単元で「負の平方根」というものを学習します。

ならいません．「負の数の平方根」ならともかく
「負の平方根」というのは，普通の感覚なら
「4の負の平方根は-2」となるでしょう
なぜなら中学の教科書では
「正の数aの平方根は二つ存在し，
それらには，正のもの，負のものがあり
またそれらの絶対値は等しい．
それらのうち，正のものを√a，負のものを-√aと表す」
ということになっているんだから．

ここでポイントなのは最初からa>0としてることと
0の平方根は別枠で明記してあること
そして，負の数の平方根は存在しないとしていること．
だから公式として
√a x √b = √(ab)
を出すときには，a>0,b>0がついている

なお，aまたはbが0のケースは0の平方根は0しか存在せず
0の平方根を√0と表し，0=√0であるというような意味の
言明があるはず．

重要なのは，表記のルールを設定する際に
その表記が適用可能な前提条件を明確にするという
当たり前のこと．

なお，中学の教科書でも√a x √b = √(ab)の証明は
a,b>0が前提になっています

つまり，こういう状況において
ルートの中に「負の数」をいれた段階で
従前の公式
√a x √b = √(ab)
がそのまま成り立つと考えるほうが不自然である
ということをきちんと教えるのが大事なことでしょう．

けっして「わけの分からない証明」をつけることが
重要なのではありません．

>「なぜ、従来学習していた(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)の演算について、a<0、b<0の場合は適用できないのか」
>という点につきます。
↑
そもそも「正の数と0の平方根」しか定義せず
その中でしか成り立たない公式を運用してきたのにもかかわらず
「負の数の平方根」という今までにないものを
無批判に従前の知識に適用するのが誤りだということに尽きます．

補足

「負の数の平方根」ですね。失礼をいたしました。用語を正確に使うよう心がけます。

回答者様の回答が衒学的で、意味がとり辛いです。

>そもそも「正の数と0の平方根」しか定義せず
>その中でしか成り立たない公式を運用してきたのにもかかわらず
>「負の数の平方根」という今までにないものを
>無批判に従前の知識に適用するのが誤りだということに尽きます．
これは回答になっていません。
「何故使えないのか」という質問に対して「何故使えると思うのか」と返すのはアンフェアです。(そもそも、定義を知っている以上、使えないことは知っているからです。その上で、使えない理由を知りたいからの発問の可能性があります。)

>つまり，こういう状況において
>ルートの中に「負の数」をいれた段階で
>従前の公式
>√a x √b = √(ab)
>がそのまま成り立つと考えるほうが不自然である
>ということをきちんと教えるのが大事なことでしょう．

これはその通りです。であれば尚更、どのような計算になるのか明確にすべきだと考えています。あるいは、そうなっているならそうなっている、それ以上考えるな!　というのが信条の方もいらっしゃるとは思いますが、私は思考停止したくない性分ですので…

回答No.3

spring135

＃1です。

要するに複素数の定義に還元されます。定義に戻ってよく考えてください。

補足

補足で書いていることをご確認ください。
そのようなトートロジカルな証明を避けようとしています。

複素数の定義によれば、x^2=1のような式を解決するため、i^2=-1となるような虚数単位を定めます。確かに、この定義によれば、(-a)^1/2・(-b)^1/2=-(a・b)^1/2の式は解決します。(それこそ、定義により証明終了、で完了です。)
しかし、(a)^1/2・(b)^1/2=(a・b)^1/2 (a>0,b>0に限る)という公式が問題となります。この式は、なぜa<0,b<0の時は利用できないのか?　利用できるとすれば、上記の結果と矛盾します。矛盾しないように、利用できないことを確認しなければなりません。(これは定義ではないはずです。多くの高校生にとってはまだ「未確認」の領域にある命題です。)その確認として、代数の範囲で証明するならば、どのような証明をする必要があるのか、という質問と読み替えてください。

回答No.2

178-tall

>kを正の実数とおく時、(-k)^(1/2) は実数と大小比較できない …

「負の平方根」とは負 (実) 数の平方根らしい。それを是として、先へ行ってみましょうか。

「負の平方根同士のかけ算が正の数にならない」とは？
「同士」が同一項を指すのなら、「負」になるのは当然。
異なる二項の掛け算なら、「負の平方根」は二値だから、正実数の場合のように「主値」を確定できぬ限り、正値になるのを妨げ得ない。

さしあたり、ここで行き止まり。この課題の焦点はどこなのでしょうか？

補足

(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)
という「中学で学習する」公式が存在します。
高校で、複素数の単元で「負の平方根」というものを学習します。
そこで、
(-a)^(1/2)・(-b)^(1/2) ≠ (a・b)^(1/2)
という式を見て、混乱する人がいます。
(-a)^(1/2)=(a)^(1/2).・i、(-b)^(1/2)=(b)^(1/2)・iより、
(-a)^(1/2)・(-b)^(1/2)=-1・(a・b)^(1/2)　となるのがその理由ですが、
この理由を、虚数を使わないで説明しないと、
「なぜ、従来学習していた(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)の演算について、a<0、b<0の場合は適用できないのか」という疑問が拭いきれません。
課題の焦点はつまり、
「なぜ、従来学習していた(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)の演算について、a<0、b<0の場合は適用できないのか」
という点につきます。

回答No.1

spring135

間違いです。

実数範囲で考える限り

(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)
が成り立つための必要条件は、a>0 , b> 0
です。

補足

>実数範囲で考える限り
>
>(a)^(1/2)・(b)^(1/2) = (a・b)^(1/2)
>が成り立つための必要条件は、a>0 , b> 0
>です。

その前提条件は何でしょうか?

(最初、私も、ご提示いただいたものを利用して証明しようとしたのですが、
そこを前提にすると、
「負の平方根は定義されていない故に、定められない」
というトートロジカルな結論しか導くことができませんでした。
ところが、実際には負の平方根というものが教科書に登場します。
(それが登場して「良い」のかどうかはともかく…)
存在する以上、存在しないことを前提にした証明はうまくないと考えます。)
仮に、存在するとした上で、その演算がうまくいかないことを示す方向で考えたのですが、
それが決定的に誤っているポイントが存在するなら、ご指摘願います。