一つの前提から２つの結果は導けるのか

質問

別の質問で、次のような指摘をいただきました。

私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」

相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」

私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。

具体的に意見が一致しなかったのは、以下の事項についてです。

(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

私は a^0 をこれを前提として求めることはできないと思います。

でもその人は、
a^1=0, a^2=0, a^3=0
と続くから、a^0=0 とすることも正しいといいます。

数学的には、どちらが正しいのでしょうか？

該当する質問が終了してしまったので、こちらで質問致します。

回答No.6

selpo · ベストアンサー

前提Pから結論Q,Rが導けるとします。
P→Q
P→R
ただし、QとRは同値ではないとします。これ自体は別に特殊なことではありません。
たとえば、
P="nは6の倍数である"
Q="nは2の倍数である"
R="nは3の倍数である"
とすれば、P→QもP→Rも成立しますが、QとRは同値関係にはありません。
つまり、Pを仮定すればQもRも言えますが、
QとRを単独で考えると、これらの間の論理関係については何も言えません。

では、もしQとRが矛盾していたらどうでしょうか。矛盾、というのはどう定義されているかといいますと、
「ある命題Xが矛盾する、とは、X→YかつX→￢Yとなる命題Yが存在することである」
が標準的です(本当は、記号論理学における矛盾というのはただの命題の一つです)。それならば、QとRが矛盾する、というのは上の定義でX=Q∧Rとした場合と考えればよいでしょう。
P→Q、P→Q、Q∧R→Yですから、P→Yです。同様に、P→￢Yとなりますので、そもそもの前提Pが矛盾していたことがわかります。
つまり、ある前提から互いに矛盾する結論が言えるならば、そもそもの前提が矛盾していた、ということです。

とすると、論理というのは、"結果を導く過程"、すなわち推論規則を骨格として、いくつかの記号群を言語とし、公理という"大前提"から様々な結論を導くおこないですから、そもそもの公理が矛盾していては困るわけです。ですから、公理が矛盾していない、すなわち、公理から出発して互いに矛盾する結論に至ってしまうことがない、ということを"証明"しなくてはなりません。
これが示されれば、公理から出発して結論を導いていく、という行為が正当であると保証されます。逆に、これが言えなければ、得られた結論が意味のあるものかどうか(その否定も同時に導けてしまわないか)が怪しくなります。
しかし、残念なことに、公理の無矛盾性は公理からは証明不可能であることがわかっています(厳密には、自然数の体系を含む帰納的に枚挙可能で無矛盾な公理系は、自身の無矛盾性を証明できない→『ゲーデルの不完全性定理』)。ただし、ほかの公理系からなら証明できることもあり、実際、ZFCという体系(集合の理論)の下、ペアノ算術(通常の自然数の理論)の無矛盾性が示されているそうです。というわけで、我々は安心して数学ができるわけです(ZFCの無矛盾性は？という問題はあります…それを証明する体系を作っても、今度はその体系の無矛盾性が問われ、という無限ループに陥ります…)。

で、お話にあった

私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」
相手：「２次方程式の根が２つあるように、それは許されている」

ですが、相手の言っていることを命題にすると、
P="x^2+2ax+b=0∧a^2>b"
Q="x=-a+sqrt(a^2-b)"
R="x=-a-sqrt(a^2-b)"
ということかと思いますが、これではP→QもP→Rも言えません。正しくは、
Q="x=-a+sqrt(a^2-b)∨x=-a-sqrt(a^2-b)"
として、P→Qです。つまり、一つの結果しか導けてはいません。

次に、a^pの話ですが、上では面倒なので、定義域、値域というのを考えませんでしたが、今度はきちんと考えます。
power(a,p)=a^pとして、powerの定義域は、a∈R、p∈Nとします(Rは実数、Nは1以上の自然数の集合)。値域はRです。このとき、power(a,p)は、pについて帰納的に定義されます。
(1)power(a,1)=a
(2)power(a,p+1)=a*power(a,p)
この(2)を、以下のように変形します。
(2')power(a,p)=power(a,p+1)/a
そして、p=0を代入すると、
(3?)power(a,0)=a/a=1
となります…なりませんね。

なぜなら、(2')(3?)の変形でa≠0を仮定していますし、p=0は値域に入っていません。
p=0が値域に入っていない、というのは、逆に考えれば、(2)がp=0でも成立するように、powerの値域を拡張した、とみることができます。
しかし、(2')(3?)でa≠0を仮定していますので、この拡張はa≠0でしか成功しません。というわけで、結局得られるのは、
(3)power(a,0)=1 (ただし、a≠0)
です。こうして、定義域に、"a≠0∧p=0"も含まれることになりました。

では、
"a^1=0, a^2=0, a^3=0と続くから、a^0=0 とすることも正しい"
を検証してみましょう。これは、power(a,p)=0とすることにあたります。…もうわかりますね。これは(2)は満たしますが、(1)は満たしません。つまり、power(a,p)の拡張とはみなせない、ということです。
よって、正しいのはpower(a,0)=1です。ただし、p=0のときはa≠0でしか定義されないことに注意しましょう。

お礼

素晴らしい回答ありがとうございました。
分かりやすさも程度も、申し分ありません。

> 結局得られるのは、
> (3)power(a,0)=1 (ただし、a≠0)

power(*,0)=0 という形のものは結局出てきませんね。

ところで、今更ながら、質問文に訂正があります。

相手の人が
>"a^1=0, a^2=0, a^3=0と続くから、a^0=0 とすることも正しい"
といったのは事実ではありません。私の記述上のミスです。
正しくは
0^1=0, 0^2=0, 0^3=0と続くから、0^0=0 とすることも正しい
と書くべきでした。お詫びして訂正致します。

それに従って分析を続けると

> これは(2)は満たしますが、(1)は満たしません。
> つまり、power(a,p)の拡張とはみなせない、ということです。

これは(1)(2)を満たします。
でも、0^0を求めるのに(1)と(2)のどちらも使っていないので、
つまり、power(a,p)の拡張とはみなせない、ということです。

となります。（私見です）

私のミスの訂正で少し長くなってしまいましたが、
本当にありがとうございました。

回答No.38

yukichance

a^0は、机上の空論でいいじゃない？！
0^0なら、四則演算キャンセルで…
―当方の結論；fは当方勝手に命名、虚構数単位
x*0^0=xf；乗法をキャンセル(0^0=1の誤解の元)
x*0^0+y=xf+y=y；加法もキャンセル(0^0=0の誤解の元)

お礼

虚構数という名前であっても、机上の空論であるなら、定義しない方が良いと思います。
定義は、それを真であるとして、それから別の結論を導けることに意味があると思うので、
定義したからといって、机上の空論を前提に何かを導くのは、方法論として問題がありそうです。

回答ありがとうございました。

回答No.37

jmh

ちょっと修正＋補足です。

> 私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」
jmh@#29> 矛盾を１つ導けたのなら、２つ目を導くはもっと簡単だと思います。
矛盾を１つ導けたのなら、どんな命題でも証明できるようになるので、矛盾もいくらでも導くことができると思います。なので、ある一つの前提から矛盾を無数に導けることがあります（一旦「どんな命題を導くこともできる」を黙認して「ある一つの前提」自体が矛盾である場合を考えてみてください）。参照URLは ja.wikipedia.org の「矛盾」です。「矛盾の興味深い性質」として紹介されています。

# 数学では (定義ではなくて) 定理を主張する方が良心的だと思います。
# 新たに質問してみてください:
# * 定義と定理はどこが違うの？
# * これは数学の命題ですか？
# * 日常と数学の両方で使う言葉で意味が全然違うのってある？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%9B%E7%9B%BE

お礼

一般的に数学で使われている「定義」は、数学の公理系からは否定も肯定も証明できないものであると考えます。
「定理」は、「定義」が真であることを前提に、「定義」により証明できる命題と言えると思います。

私が「ある一つの前提」として想像してたのは、
数学の公理系から真であると言えるものか、否定も肯定もできないもの、
そういう条件を付けた、ごく一般的に数学の対象にしている命題のことです。

前提が偽であれば、どんな命題も導けるので、それらを結果とみなすと矛盾するのは理解できます。

回答ありがとうございました。

回答No.36

alchool

＜＜数学の世界では、「象」「一匹」を定義できないでしょうね。

何度馬鹿げた揚げ足取りを批判すれば良いのでしょうか？
それが本質的なことではないとわかっていて相手を馬鹿にするような事を書くから
質問全体が運営に削除されるのです。
運営に削除されるというのはつまり「見えるに耐えない」ということです。

＜＜少なくともwikiの内容は、それではありません。

当てはまらない。当てはまらない。
と言っているだけなので、これでは水掛け論になるのでやめます。
貴方は自分の考えをきちんと形にせずに、自分の頭の中だけで物事を進行して
話の繋がらない疑問ばかりをぶつけてくるのでこちらとしては手のうちようがありません。
９９％貴方はwikiの内容を理解していないと僕は思っています。
これだけ会話が正しく成立しないのだから、誤解で歪められた理解で頭の中がいっぱいであるに違いありません。

＜＜でなければならないから、「不定」＊０をどう処理してるか興味があったんです。

自分の理解していなかった事を、あくまでも正当化してひょうひょうとした態度をとるのですね。
「興味があったんです」ではないでしょう？
「理解していませんでした」「勘違いしていました」と書くのです。
処理の仕方がわからないのなら答えを導けないはずです。
ひと目で分かる嘘を平気でついている貴方を見て失望する僕の気持ちを予想する事ができないのでしょうか。
貴方は演算に対する思慮が欠けており、「∞」や「0」という極限値を正確に扱う能力が無いということです。

貴方に前提から正しく結果を導く力が有るとは思えません。
wikiの内容を正しく理解するだけの力が有るとも思えません。
（連続性や収束性を理解しているのなら、上記のような間違いは起こらないはずです）
貴方が今抱えている疑問は、間違いなく無理解による勘違いです。
いくらか残した話題がありますが
僕は匙を投げます。
貴方は手がおえません。

これ以上のことは自分で勉強し、自分の中で結論を出してください。
もう質問を立てないでください。
見るに耐えません。

さようなら

お礼

> 何度馬鹿げた揚げ足取りを批判すれば良いのでしょうか？

馬鹿げてはいないでしょう。

> > 数学の世界では、泳げない象が世界に一匹でもいれば「象は泳げる」という命題は偽なのです。
> >「私が今まで見てきた象は全て泳げた」なら真である事ができます。

という言葉に反論するなら、まずそれが「数学の世界」で命題として真偽を判定できる必要があります。
その上で、
”泳げない象が世界に一匹でもいれば「象は泳げる」という命題”
の真偽について反論する必要があると思います。

「泳げない象が世界に一匹でもいれば」という命題が「数学の世界」で真であるなら、
「泳げない象が世界に一匹でもいれば」から「象は泳げる」を偽とするのは正しいと思います。

でも、現実問題として、「数学の世界」で「泳げない象が世界に一匹でもいれば」を証明することはできません。
ではこれを日常語として解釈できるかというと、枕ことばとして「数学の世界」とされてるので、それも不可能であろうと判断しました。

> 貴方は自分の考えをきちんと形にせずに

#30の補足として、きちんと形にしてる筈なんだけどな。
ただ、補足が相手に伝わってるとは限らないし、きちんとした形を示したと断言もできません。

> 「理解していませんでした」「勘違いしていました」と書くのです。
> 処理の仕方がわからないのなら答えを導けないはずです。

まさにその通りで、短い時間で処理できるほど、私は頭が良くないのです。
だから、反論など簡単にはできず、興味を示すに留めました。

回答ありがとうございました。

回答No.35

alchool

＜＜よって、そこに書かれた項目を基にして、定義できない理由だと思うことはできません。

何か誤解をしているようですが、少なくとも私は定義できないといっていません。
定義されるべきではないと言っているんです。違いがわかりませんか？
全ての要請に対して正確であることはできない、つまりあちらを立てればこちらが立たず
なのであるから、「0^0=1という定義しか認めない」という事を否定しているんです。
定義できないと言っているわけではなく、状況に応じてどれでも定義されうる、
「ある一つの定義だけに確定することはできない」と言っているんです。
数学では、0^0=1とみなせる根拠を沢山持ってきて多数決でそれに決めるということはあり得ません。
すべての状況に対して「一貫して」0^0=1であるという同意が得られなければ、それは共通の理解として得られないんです。
それが数学的な厳密性です。
定まってないと気持ち悪いから、最も説得力のある方法で定義しておこうなんて事はしちゃいけないんです。
wikiに有るように「視野を狭めて」二項定理の場合0^0＝1だとしておこうという事はできるでしょうが、
他の分野、極限の理論などで0＾0＝1などと定義されていてはそれは理屈に合いません。
貴方が例えば、「x^yなる関数が経路によっては、x=0,y=0の極限で1にならない」という事を無視して
視野を狭めて特殊な場合において0＾0＝1と置くのであればそれは構いません。
しかしそれは数学全体の共通の定義とはなりえません。

＜＜０以外の可能性を排除してるんだと受け取っていました。

すみませんが、何故そのように受け取ることが可能であったのかが理解できません。
「これは僕の猫です」といったら「そうかボクノネコという名前なのか」という反応が帰ってくるくらいに理解不能です。
わざとやってるんじゃなくて、本当にここに来るまでわからなかったんですか？

＜＜その部分の記憶を蘇らせたとしても

僕はここに書いてある質問文の内容だけで判断しているつもりです。
質問文に書いてあるだけの内容と、お礼欄の回答に一貫性が見られないのです。

＜＜指数法則が成立しない理由が無いのだから、成立してると考えるのが自然です。
＜＜…という考え方もあります。

貴方の頭のなかだけで回っている条件が多すぎます。
「前提を提示する」「そこから導かれるかどうか」という話をしていたのに
まず結果0^-1=0を提示して、それから後だしで「私が考えた自然な前提条件」をあたかも当然のように出してくるのは
論外であるというのが一点。
最初に立場をはっきりとさせる。その上で結論を導くということができないのでしょうか。
口下手な子供から「どうしたの？」と理由を聞き出しているわけではないのですから。
もう一点はそもそも指数法則が成立すると何故0^-1=0なるのです？
「貴方の考えている指数法則」を数式で表現して貰えませんか？

＜＜「不定」に０を掛けると、何になりますか？

不定とは∞を含むのですよ？既に書いたはずです。
∞に0をかけると何になりますか？0が勝つのですか？
そのような理解で大丈夫ですか？
まさか「0*0/0は0になり、0/0/0は∞になるべきだ」という様な理解なのですか？
それで「複素数の正則性を理解している」と発言しているのですか？

＜＜それらは、いずれにも資格はありません。
＜＜定義されるかどうかのみで資格は決定します。

それは単に貴方の強迫観念でしかありませんし、ましてやそれを数学的な理由とは呼びません。
1＝2の証明、についてはある程度理解されているようですから書きますが
定義されないことが問題で有るのならまず、貴方の方法で0/0を定義してください。
勿論0/0＝1とすると、1＝2の証明で見たように方程式の信頼性が崩壊します。
a=bの仮定のもとで、(a-b)/(a-b)を1とみなしていること、つまり0/0＝1の定義が
矛盾を招いているのです。

そりゃ前提を設けて定めるだけなら簡単でしょう。
しかしその関係をその後の計算で使って矛盾が生じるならばそれは定義しちゃだめなんです。
だから普通は0除算の場合は、ケースバイケース、つまり場合分けをして考えなければならないことになっています。
0＾0=1の定義がいかなる場合にも矛盾を生じさせないとう数学的な根拠が有るのなら良いですが。
そうでないなら、単に特定の視野の狭い場所で成り立つ特殊な定義であり、いつ矛盾が起こるともわからず
ビクビクしながら0^0=1という定義を使わなければならないことになります。
貴方の書き方を見ていると、まったく「０」や「∞」への配慮がありません。
「ただの実数の一つだ」という感じです。
記号にしてしまえば見えにくくなるだけで、そこには矛盾を生じるだけの可能性を持っているんです。
それを考慮しないのであれば数学的にはそれは「考えなし」の危うい方法論です。

＜＜象が泳いでるのを日常的に見てる人に、いかに泳ぎが困難か説明されて、
＜＜それがまったく泳げない理由に感じられないのと似ているかも。

数学の世界では、泳げない象が世界に一匹でもいれば「象は泳げる」という命題は偽なのです。
「私が今まで見てきた象は全て泳げた」なら真である事ができます。

貴方がこれから0^0をどんな前提で定義したところで
「私の象は泳げます」と言っていることにしか成らず「象は泳げる」という命題について言及できません。
その命題を否定するためには数学者は「泳げない象を」一匹連れてくるだけでいいんです。
既に述べましたが、数学で何かを言い切るためには完全な一貫性が必要なんです。
一貫性から外れたものは必ず除外され、他のものとは別の扱いを受けるのです。
（困難かどうかなどというのは、数学の方向性としては見当違いな感覚です。）
「数学的な理由」というものを根本的に履き違えているように思います。

お礼

> 何か誤解をしているようですが、少なくとも私は定義できないといっていません。
> 定義されるべきではないと言っているんです。違いがわかりませんか？

だから、「定義できない理由ではない」という理解で一致しますよね。

> 全ての要請に対して正確であることはできない、つまりあちらを立てればこちらが立たず

要請されてるのはただ一つ、「べき乗の定義(1)(2)からa^0は定義できない」です。
１とか０が要請されているのではありません。よってあちらもこちらもありません。

> 「ある一つの定義だけに確定することはできない」と言っているんです。

示されているのは(1)(2)だけの場合ですから、その限りにおいては同意します。

> wikiに有るように「視野を狭めて」二項定理の場合0^0＝1だとしておこうという事はできるでしょうが、
> 他の分野、極限の理論などで0＾0＝1などと定義されていてはそれは理屈に合いません。

二項定理は視野を狭めたものではありません。
ちゃんと、極限が定義できる分野です。

> わざとやってるんじゃなくて、本当にここに来るまでわからなかったんですか？

誓って、その通りです。

> 貴方の頭のなかだけで回っている条件が多すぎます。

あまり、話をそちらに向けちゃうと、とんでもない方向に行っちゃうので避けてた部分もあります。
それを理由にしても、首尾一貫した話をしてないのは、反省しています。

> 「貴方の考えている指数法則」を数式で表現して貰えませんか？

a^(p+q)=a^p * a^q (a=0, p,q∈Z)

> 不定とは∞を含むのですよ？既に書いたはずです。

0^0 のことも「不定」としてたから、その時(2)は
0^1=0^0*0=0
でなければならないから、「不定」＊０をどう処理してるか興味があったんです。

> 定義されないことが問題で有るのならまず、貴方の方法で0/0を定義してください。

定義の必要が無いようにするのが普通ではありませんか？
私の方法にその定義を出すつもりはありません。

> いつ矛盾が起こるともわからず

それは通常の数学でも同じでしょう。
にも関わらず、ビクビクなどしてない筈です。

> 「ただの実数の一つだ」という感じです。

そう見なした場合にどうなるかはある程度やりました。
満足な結果は得られないと見きれてからは、そういう仮定はしていません。

> 数学の世界では、泳げない象が世界に一匹でもいれば「象は泳げる」という命題は偽なのです。

数学の世界では、「象」「一匹」を定義できないでしょうね。

> その命題を否定するためには数学者は「泳げない象を」一匹連れてくるだけでいいんです。

その一匹が自分では探せないんだな。
少なくともwikiの内容は、それではありません。

回答ありがとうございました。

回答No.34

中村 拓男（@tknakamuri）

>皆さんの意見を聞き、私は間違いに気付いて考えを変えたのでは？
>私の目的が間違いさがしにあったことは、これにて明白かと。

そういうと思ってました(^^;

この質問の元質問も
「質問者自身の意見を表明することを目的とした内容、または同意のみを求める目的の内容」
で全削除食らってます(okwave より連絡がありました。質問と回答まるごと削除ってはじめてです)。

この質問の補足やお礼も自説(0-^0=1)の擁護発言であふれていますから、そろそろやばいでしょう。

お礼

この質問の(1)(2)を前提にした場合、0^0=1 という結論は間違っても出てきません。

そして、あなたがうろ覚えと称して、削除された前の質問の話を蒸し返そうとした際も、
そこはこの質問の範囲外のことなのでお断りしました。

私は基本的に、普通に定義されたべき乗の範囲内でやりとりしようと考えていました。
終わった質問をこれと絡めて訴えようという意図もありません。

結果的に 0^0=1 という所まで論争が広がったのは、私にとって不本意です。

回答ありがとうございました。

回答No.33

中村 拓男（@tknakamuri）

もう、終わりかな？

いまさらですが、この質問は表面上の形式はどうあれ

「質問者自身の意見を表明することを目的とした内容、または同意のみを求める目的の内容」

は明らかなのでここではルール違反です。

Blog とか適当な場に移ったほうがよいでしょう。

お礼

あれあれ？

皆さんの意見を聞き、私は間違いに気付いて考えを変えたのでは？

私の目的が間違いさがしにあったことは、これにて明白かと。

「自身の意見の表明」は、上の目的を達成するために必要な限度と考える範囲で行っています。

否定であれ肯定であれ、自分で納得できた部分を再度問うことはしておりません。

回答ありがとうございました。

回答No.32

中村 拓男（@tknakamuri）

＞単に対象外だから、不定でも不能でもなく未定義というのも率直な感想でよろしくない様

あれれ？ ちょっとどの対象外の話かわからないのですが、対象外というのは条件の対象ではないという
意味で、「値を定義しない」とは別と考えてます。そうでないとおかしいので。

また、未定義=値を定義しない＝不能　という認識なんですが、ずれてますでしょうか？
＃この辺の用語をつっこまれると、技術やなんで、普段つかわないので怪しいかも。

原点への近づき方をかえれば x^y　がいような値にも近づくことは認識してます。
けっきょくどう選んでもしっくりこないので、決め手はないと考えています。
未定義が一番しっくりするような気がします。

お礼

対数を取れば、徐々に傾いていく直線による見事な曲面。
この場合は、１が一番しっくり来ると思う。
グラフは見方によるよね。

回答ありがとうございました。

回答No.31

中村 拓男（@tknakamuri）

>No.24より
>>>えーと、(2)では p=-1 は対象外なんです。
>
>えっと僕なんか間違えました？
>このp=-1 は対象外というのは何処からくる条件ですか？

質問の
＞(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数

です。#16 で私の書いた前回質問の条件にも似たような制限を
設けてます。私が決めたわけではないんですが・・・

これらの定義にこだわる必要はないのですが、
いきなり無視されるとちょっと面食らいます(^^;

お礼

遅くなりましたが、見守っています。

回答ありがとうございました。

回答No.30

alchool

No.24より
>>えーと、(2)では p=-1 は対象外なんです。

えっと僕なんか間違えました？
このp=-1 は対象外というのは何処からくる条件ですか？
過去の質問におけるtknakamuri氏とfusem23氏の間の取り決めというか、
「ここまで拡張しましょう」という合意か何かのようにも聞こえるんですが、
実際のところはどうなんでしょう？

単に対象外だから、不定でも不能でもなく未定義というのも率直な感想でよろしくない様に思えますし
関数x^yがx=0,y=0で不連続になってしまうのですから
前提(1)(2)のような漸化式(?)はそのようなx=0,y=0を通過するような点を通る時、
正当とはいえないものになってしまうのもやはり事実で、そこには何らかの言及を加えない限りは
どうも説明として片手落ちのような気がするのです。

そのような事を配慮して
もし拡張するのであれば、pの値で拡張するのではなく
wikiに有るように関数x^yを与えて、2つの独立変数x,ｙついて二次元的な自由度を示してやる。
つまり独立変数x,yがなす曲線がいかに0^0へと収束するかで考える方がより理に叶っているのかなと思います。（厳密には「収束」では無いですが。）

お礼

正の部分は、べき乗で決める。
負の部分は、逆数と決める。
という前提があったんです。

(1)(2)によって指数０を飛び越えるのは困難ですからね。

回答ありがとうございました。

補足

完全にスッキリと見えてきました。

べき乗の定義
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数
からは a^0 を求めることはできません。

ここから
A. a^0 = a/a = 1 (a≠0)
B. 0^1=0, 0^2=0, 0^3=0 と続くから 0^0 とすることも正しい
C. lim[x,y→0]x^y は存在しない
と続けるのは、ただ単に(1)(2)から a^0 が求められないことを分かりやすく示すために、
a^0=1 や a^0=0 がもっともらしいことを繰り返し示しているだけなんですね。

なら、打開策は簡単で、a^0 を決めるには、べき乗に条件を追加すれば良いんです。
A～Cの話はすべて「(1)(2)だけでは」そうなるというだけなので、
条件を追加した後は、何も気にする必要はありませんね。（数学的には）

私はうっかり、a^0 を決定するには困難な矛盾を解決する必要があるのかと思いましたが、
そんなのは存在してないんですね。

wikiには「全てに都合の良い定め方はない」などと書かれてましたが、
「これでべき乗の定義から a^0 が求められないことが分かって貰えただろうか？」
と変えた方が良くないかな。

結局(1)(2)から a^0 が求められないことを延々と繰り返すことで、
あたかも「a^0=1 とする必然性は存在しない」と思わせようとしているんだな。

べき乗は、正の整数乗を決める方法を決めても、負の整数乗を決めたことにはならない。
(1)(2)には必ず条件を追加する必要があるので、A～Cの話は本当に何の役にも立たない。

私はこれで納得できたので、近々閉めようかと思いますが、
言いたいことがあれば、言ってください。（→皆さん）

お礼の返信は致します。

回答No.29

jmh

> 私：「ある一つの前提からは、矛盾する２つの結果は導けない」
矛盾を１つ導けたのなら、２つ目を導くはもっと簡単だと思います。

> 私としては、矛盾する結果を導く過程も正しいとするなら、
> ある前提からある結果を導いたことにどんな正当性があるんだろうと思います。
証明 (導出の過程) が (形式的に) 正しいっていうのは、それが数学の定理だってことです。数学の定理の中には (心理的に) 正当性がないように見えるものもあります。

お礼

回答ありがとうございました。