※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：にゃんこ先生の自作問題、4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件）
4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件
このQ&Aのポイント
4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件を考えました。
4次関数の係数の条件は、b-a^2/4=2c/aとなります。
具体的な条件は、qを勝手に決めれば、rとsが定まります。
にゃんこ先生の自作問題、4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件
にゃんこ先生といいます。
4次方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 には、難しいにゃがらも公式があり、その過程では3次分解方程式にゃどというものを解く必要があり、さらにそのために、2次方程式を解く必要があります。
結局、公式は、平方根と３乗根と四則を使ってかけることが知られています。
そこで、4次方程式が平方根（二重根号であってもよい）と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。
同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。
このとき、4次方程式は、p,q,r,sをもちいて、
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)^2+r(x^2+px+q)+s=0
と書けるはずで、両辺の3次の係数を比べることで、p=a/2とにゃらにゃければいけにゃいことがすぐに分かり、他の係数を比べて、
2q+r=b-a^2/4
2q+r=2c/a
q^2+rq+s=d
とにゃります。
よって、求めたい条件は、b-a^2/4=2c/a とにゃりました。
このとき、qを勝手に決めれば、それによってr,sが定まります。
今度は、方程式でにゃく、関数を考えます。
4次関数 y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e が2つの2次関数の合成で書けるときのa,b,c,d,eの条件はにゃんでしょうか？
また、どのようにかけるのでしょうか?
お礼
ありがとうございました。