方程式

質問

いつもお世話になっております。

次の方程式を満たす整数x,yの組をすべて求めよ。
(1)x^2y-3y=12 (2)1/x+1/y=1/4 x＞0,y＞0

（　）（　）＝（整数）の形に直すやり方がわかりません・・・
(2)は分母を払いました・・
2問がわかりません。

どんなに数学を頑張っても結果を出せないので悔しい限りです・・
頑張りますのでよろしくお願いいたします。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

＞(1)x^2y-3y=12

y＞0より、x^2＝（3y＋12）/y＝3＋12/yと変形できる。
xは正の整数から、y＞0よりyは12の約数。
y＝1、2、3、4、6、12。この中でxも正の整数になるものを求めると良い。

＞(2)1/x+1/y=1/4 x＞0,y＞0
＞（　）（　）＝（整数）の形に直すやり方がわかりません・・・

分母を払うと、xy＝4x＋4yから、xy-4x-4y＋k＝k　但し、kは整数。
xとyの係数4に注目するとk＝16とわかるから、（x-4）*（y-4）＝16と変形できる。
16＝1*16、2*8、4*4、の3通りの組み合わせ（逆もあるから6通り）がある。
以下は、自分でやってね。

お礼

ありがとうございます＾＾
解説がわかりやすいので(1)できました！！
とけるとうれしいですね☆

回答No.4

take_5

＞y=4x/(x-4)=4+16/(x-4)のところで、なぜ4+16になるのでしょうか。

y＝4x/(x-4)＝4+16/(x-4)　←　4+{（16）/(x-4)}のつもりで書いたんだけど。。。。。。笑

お礼

再度ありがとうございます。

すみませんです。なかなかなれないもので・・
おかげさまで解決できました☆

回答No.3

Quattro99

(2)
xy＝4x+4y ←分母を払う
xy-4x-4y=0 ←移項
x(y-4)-4y=0 ←xについて整理
x(y-4)+a(y-4)+b=0の形に出来ればy-4でくくって（　）（　）＝（整数）の形に出来る。-4yとa(y-4)でyの係数を比べるとa=-4にすればよいことがわかる。
x(y-4)-4(y-4)-16=0 ←-16はつじつまを合わせるため
(x-4)(y-4)=16

また、xy＝4x+4yを見ると、xについてもyについても1次式です。ですから、(　)(　)の形にしたとき、xとyはそれぞれ片方にしかないはずです（両方にあったら2次式になってしまう）。xyの項がありその係数が1ですから、xとyは別々の(　)に入っていて、その係数はそれぞれ1であろうこともわかります。回りくどくいいましたが、要するに(x+○)(y+△)のようになるはずです。そう思ってxy＝4x＋4yを見れば、(x-4)(y-4)のはずだとわかると思います。あとは定数部分のつじつま合わせをすればよいということです。

お礼

ありがとうございます☆
すごく丁寧にしてくださって感謝しております。
おかげさまで解決できました

回答No.2

take_5

＞（　）（　）＝（整数）の形に直すやり方がわかりません・・・

前にも教えたが、分母を払うとxy＝4x＋4yから　y*（x-4）＝4xとなる。
x-4≠0よりy＝4x/（x-4）＝4＋16/（x-4）。
y-4＝16/（x-4）となるから、（x-4）*（y-4）＝16と変形できる。

お礼

ありがとうございます☆

すみません、教えていただきたいことがあります。
y=4x/(x-4)=4+16/(x-4)
のところで、なぜ4+16になるのでしょうか。