大学入試レベルの問題です。(多項式)

質問

１(１)整数係数のn次式 f(X)=αnX^n+......+α₁X＋α₀　　　が
有理根Ｘ=(q/p) (p、qは互いに素な整数、p＞０)をもつなら
「pはαnの約数」(1)　　　
であり
「qはα₀の約数」(2)
であることを証明せよ。

(２)前問を利用して√2が無理数であることを証明せよ。

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過程を詳しくお願いします(。。)

回答No.1

noname#152422 · ベストアンサー

掛け算と紛らわしいので、以下αnをα[n]などと書きます。

「有理根」といっているのはf(X)=0の根のことですよね？

f(q/p)=0の式の両辺にp^nを掛けておく

(1)α[n]q^n=の形にすると、これがpの倍数であることがわかる。
仮定よりq^nはpを約数に持たない。

(2)α[0]p^n=の形を考えて(1)と同様の処理をする。

(3)f(X)=(X^2)-1を考える。

お礼

（１）（２）はよく分かりました。
（３）はもう一度時間をかけて頑張ろうと思います。

（１）（２）は、xに何を代入すればよいか、よく考えるべきでした。

ありがとうございます（。＿。）