三重積分の意味

質問

閉空間Ｄにおいて∫∫∫dxdydzを計算することは

Ｄの内部の体積を求めることですが、ある関数f(x)を

Ｄの領域で∫∫∫f(x)dxdydzと計算したときに出てくる

数字はいったい何を表しているのでしょう？

例えば∫∫∫dxdydz（x^2+y^2+z^2≦１）は単位球の体積で

３π／４ですが、∫∫∫（x^2+y^2+z^2）dxdydz（x^2+y^2+z^2≦１）は

144π／５でこれっていったい何の数値？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

質量の定義：
M=∫∫∫[D] ρ(x,y,z)dxdydz
は閉領域Dの質量を表し、
特に密度ρ(x,y,z)=1のときは
V=∫∫∫[D] dxdydz
は閉領域Dの体積に等しくなります。

>∫∫∫dxdydz（x^2+y^2+z^2≦１）は単位球の体積で
>３π／４
これか半径1の球体の体積ですね。

>∫∫∫[D}（x^2+y^2+z^2）dxdydz（D:x^2+y^2+z^2≦１）は
>144π／５でこれっていったい何の数値？

球の中心からの距離r=√(x^2+y^2+z^2)に対し
ρ(x,y,z)=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2なので
この3重積分は、密度が球体の中心からの距離の2乗に比例する閉領域の立体の質量になります。中心の密度ρ(0,0,0)=0,球面の密道ρ(x,y,z)=1です。

なお、
>∫∫∫[D} f(x)dxdydz（D:x^2+y^2+z^2≦１）は
密度ρ(x,y,z)=f(x)と言うことなので、密度はx方向にのみ変化し、y,z方向には依存しないようなケースの閉領域の立体の質量になります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。密度が変化する立体の質量ということで理解しました。物体の密度がいつでも均一ということはないですからね。ありがとうございました。すっきりしました。

回答No.4

alice_44

電荷密度を体積分すれば、その領域の全電荷になるとか、
三次元分布の確率密度を体積分すれば、点がその領域内にある確率になるとか、
「なんたら密度」が出てくる話が多いかな。
磁束密度だと面密度だから、「密度」なら何でも体積分する訳ではないけれど。

さて、貴方の x^2+y^2+z^2 の単位は、何じゃらほい。
次面だけから長さの２乗と決めつけることもできなくて、
値が 1 (で、単位だけは持っている)の係数が掛かっているかもしれないからね。
x^2+y^2+z^2 の意味をきかないことには、
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz の意味は判らない。

お礼

なるほど！いろいろとあるものですね。大変勉強になります。こういった積分が何を表してるのかとかがあまりわからないまま、計算問題としてやっている人が多いような気がします。これからいろいろ勉強していこうと思います。ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

「意味」ってのが、意味わかんない。
積分の意味なんて、被積分関数の意味しだいでしょ。
f(x) の、式じゃなく、それが何を表すのか書かなきゃ、
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz の意味なんて、決まらない。
体積や質量ばかりが積分じゃないよ。

補足

体積、質量以外にこの三重積分で表現できるものの具体的な例があれば教えていただけませんか？

回答No.1

itoi_mitsugu

f(x)はその点における密度と解釈すれば三重積分は質量を思うことができます。
f(x)はその点を含む微小領域の質量と体積の比⊿M/⊿Vで⊿Vをどのように
その点に縮めても同じ値に収束するなら定義できるのでそう理解していいです。

お礼

なるほど！そういうことだったんですね。ありがとうございます。とても分かりやすかったです。