三重積分の仕方 （続）

質問

問題は

Ｄ：x^2+y^2+z^2≦a^2（但しaは正の定数）
とするとき、
∫∫∫D　1/(x^2+y^2+(z-2a)^2)dxdydz
の値を求めよ。

です。

同じ質問を以前にしたのですが、積分の計算で少しつまったので、詳しい計算過程を教えてくれたら幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

：mmkyさんから参考計算手順まで
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ が正しい。
として，積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
（∫dφ=2π この項目は他から浮いているので独立にしてよい。）
=2π∫∫r^2 sinθ dr dθ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
t = cosθ と置いたときの dt = - sinθ dθ 1≧t≧-1 (0≦θ≦πゆえ）
積分範囲の変化に留意のこと。
=2π∫∫-r^2 dr dt / (r^2 - 4art + 4a^2)}
=2π∫∫-r^2 dr dt / (r^2 - 4art + 4a^2)} ---(1)
***** 計算過程
(r^2 - 4art + 4a^2)=A と置けば、dA=-4ardt dt=-dA/4ar
(r^2 - 4ar + 4a^2)≦A≦ (r^2 +4ar + 4a^2)　　（1≧t≧-1　ゆえ）
∫-dt / (r^2 - 4art + 4a^2) =(1/4ar)∫dA/A=(1/4ar)ln(A)
=(1/4ar){ln(r^2 +4ar + 4a^2)-ln(r^2 - 4ar + 4a^2)}
=(1/4ar){ln(r+2a)^2-ln(r-2a)^2}=(2/4ar){ln|r+2a|-ln|r-2a|}
=(1/2ar){ln|r+2a|-ln|r-2a|}
*****(1)の続き
(1)=2π∫r^2 (1/2ar){ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr
=(π/a)∫r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr ---(2)
**ここまではいいね。**
これからだね。
*****計算過程
0≦r≦a
∫r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr =∫r{ln(2a+r)-ln(2a-r)}dr
{(|r-2a|=(2a-r)>0 ゆえ}
∫r{ln(2a+r)-ln(2a-r)}dr= ∫rln(2a+r)dr -∫rln(2a-r)}dr
部分積分を使って、
=(1/2){(r＾2ln(2a+r))-∫(r＾2/2a+r)dr}-(1/2){r＾2ln((2a-r)
-∫(r＾2/2a-r)dr}
=(1/2){r＾2ln(2a+r)-r＾2ln((2a-r)}-(1/2){∫(r＾2/2a+r)dr
-∫(r＾2/2a-r)dr} ・・（前を１項＋後を２項としましょう。）(*3)
*****(*3)の２項の計算過程
=-(1/2){∫(r＾2/2a+r)dr-∫(r＾2/2a-r)dr}
=-(1/2)∫r＾2{((2a-r)-(2a+r)/4a＾2-r＾2}dr
=(1/2)∫{r＾2(2r)/(4a＾2-r＾2)}dr
(4a＾2-r＾2)=B -2rdr=dB r＾2=4a＾2-B 4a^2≧B≧3a^2
=(-1/2)∫{4a＾2-B/B}dB=(-1/2)∫{4a＾2/B)-1}dB
=(-1/2){4a＾2ln(B) -B}
0≦r≦a 、4a^2≧B≧3a^2　積分範囲の変化に留意。
=(-1/2){4a＾2ln(3a^2) -3a^2-4a＾2ln(4a^2) +4a^2}
=(-1/2)a＾2{4ln(3a^2) -3-4ln(4a^2) +4}
=(1/2)a＾2{-4ln(3a^2)+4ln(4a^2) -1}
(註：ln(3a^2)=ln(3)+ln(a＾2) ゆえ）
=(1/2)a＾2{-4ln(3) +8ln(2) -1}
******(*3)の１項の計算
=(1/2){r＾2ln(2a+r)-r＾2ln((2a-r)}
0≦t≦a
=(1/2)a＾2{ln(3a)-ln((a)}
=(1/2)a＾2{ln(3)}
****
１項+２項
=(1/2)a＾2{ln(3)+8ln(2) -4ln(3) -1}
=(1/2)a＾2{8ln(2) -3ln(3) -1}
=(1/2)a＾2{(8/3)ln(2/3) -1}
****(2)に戻って
(π/a)∫r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr ---(2)
=(π/a)(1/2)a＾2{1+(5/8)ln(3/2)}
=(πa/2){(8/3)ln(2/3) -1}　　　　　
答え？

なんか答えが違うように思うけど、計算方法の手順の
参考まで、

回答No.7

siegmund

> 以前のやり方によると体積要素というのが解答にあったのですが、
> まず体積要素っていうのがよくわからなかったです。
が残っていましたね．
前のミスタイプのお詫びにここらへんを少し．

直角座標での体積積分のとき dx dy dz がついていますが，これが体積要素です．
つまり，x～x+dx，y～y+dy，z～z+dz の間の微小体積で，
これは３辺がそれぞれ dx，dy，dz の直方体になりますから，
体積は dx dy dz です．

じゃあ，極座標にしたら，dr dθ dφ でよいか？
そりゃまずいです．
x, y, z は長さですから(当然dx, dy, dz も長さ) dx dy dz で (長さ)^3 でちゃんと体積になります．
ところが，r は長さですが，θとφは角度(次元なし)ですから，
dr dθ dφ では (長さ)^1 にしかならず，体積にはなりません．
r～r+dr，θ～θ+dθ，φ～φ+dφ の間の微小体積が実は r^2 sinθ dr dθ dφ なのです．
r～r+dr，θ～θ+dθ，φ～φ+dφ の間は近似的に直方体になっていて，
r 方向の辺が dr，θ方向の辺が r dθ，φ方向の辺が r sinθ dφで，
３つ掛けて r^2 sinθ dr dθ dφ になります．
ここでは図が描けませんので，微積の本の多重積分，ベクトル解析の本の直交曲線座標，
物理の電磁気の本，などを探してみてください．
また，google などで「極座標 体積要素」で検索しても図入りのＨＰがヒットします．
あるいは，計算で押すならヤコビアン(関数行列式)を使う手もあります．

∫dφ=2π の話は mmky さんが No.2 で解説されているとおりです．

∫{r:0→R}∫{θ:0→π}∫{φ:0→2π} r^2 sinθ dr dθ dφ
を計算すると，ちゃんと球の体積 (4/3)πR^3 が出てきますのでお試し下さい．

回答No.6

oshiete_goo

oshiete_gooです.

siegmund先生にお褒めの言葉をいただき光栄です.
いつも回答では誤りをおかしつつ冷や汗たらたらですが, いい勉強になります.
本件の元の質問についての検算の報告で, mmkyさんご指摘の部分を見落としていて失礼いたしました.
話の主要部分に目が行ってしまって思い込みで読んでいて気づきませんでした(実はありがち?).
質問者さんやmmkyさんのような素直な予断のない目をもった人の方がよく見えたということで, 初心を忘れないmmkyさんに見習いたいと思います.

回答No.5

siegmund

siegmund です．

mmkyさん：
> x = r sinθ cosφ
> y = r sinθ sinφ
> z = r cosθ が正しい。
ありゃ～，まだミスタイプがありました．
訂正ありがとうございました．
paperkimutaka さん，迷わしちゃって済みませんでした．

oshiete_goo さんの完璧回答で言うことはありません．
> 同じ被積分関数の定積分(*)と(**)は積分区間をつなげることが出来て
のあたりはスマートですね．

mmkyさんの No.2，どこで誤ったか全部チェックしている時間がないのですが，
結果が誤っていることは即座に見えます．
もともとの被積分関数は積分領域内で至るところ正ですが，
mmky さんの結果は負になっています
(2/3 < 1 から，ln(2/3)<0 なので)．
したがってどこかにミスがあることはすぐにわかります．
mmkyさん，批評がましくて失礼しました．

回答No.4

mmky

mmkyさんです。
oshiete_gooさん、回答ありがとう。
質問者さんへ、数学は、結果は大切ですが、それまでの過程も大切ですから、わからない時は、素直に何度でも書き込めばいいんですよ。
ただね、siegmundさんのおしゃるように考えた過程を書いておくと、皆さんが回答しやすいのですね。再度問うということは、十分努力しているんだから努力の姿をみせないといけないね。
mmkyさんがあえて示したように駄作でもいいんですよ。
答えがまるで違ったっていいんですよ。
そうすると、ここから違うとよ」という風に教えていただけると思うんです。
参考の参考まで

回答No.3

oshiete_goo

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=384979
にある, siegmund先生の示された方針に従い，またmmkyさんのご尽力に敬意を表しつつ，後半の参考別解を示します．

(与式)＝(π/a)∫_{0→a}r{ln|r+2a|-ln|r-2a|}dr ---[mmkyさんの（2)式に相当]
＝(π/a)∫_{0→a}r{ln(2a+r)-ln(2a-r)}dr　・・・(@)[絶対値を外した]
＝(π/a)(I1＋I2)
ただし
I1＝∫_{0→a}r・ln(2a+r)dr
I2＝∫_{0→a}{－r・ln(2a-r)}dr
とする．

I1で2a+r＝Xと置くと，dr=dX, r＝0のときX=2a, r=aのときX=3aで
I1＝∫_{2a→3a}(X-2a)lnXdX　・・・(*)

I2で2a-r＝Yと置くと，-dr=dY, r＝0のときY=2a, r=aのときY=aで
I2＝∫_{2a→a}(2a-Y)lnYdY
　＝∫_{a→2a}(Y-2a)lnYdY・・・(**) [積分区間の上端下端の交換]

すると同じ被積分関数の定積分(*)と(**)は積分区間をつなげることが出来て，まとめて
I1＋I2
＝∫_{a→3a}(X-2a)lnXdX
＝[(X^2／2－2aX)lnX]_{a→3a}－∫_{a→3a}(X／2－2a)dX　　[部分積分]
＝[(X^2／2－2aX)lnX－(X^2／4－2aX)]_{a→3a}

以降，代入して全体がa^2で括れることと，ln(3a)=ln(3)+ln(a) と分解して結局ln(a)の項が消えることに注意すると，
[補足：実はこの２点は（＠）の式で次元を考えるか，積分変数の無次元化を行うかすれば最初から一目で分かる．]
I1＋I2＝a^2{2-(3/2)ln(3)}
となり,結局
(与式)＝(π/a)(I1+I2)＝2πa{1-(3/4)ln(3)}
の通り，siegmund先生が最初におっしゃった結果が得られます．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=384979

回答No.1

siegmund

#384979 の続編と思いますが，
先の私の回答(＋oshiete_goo さんのご注意)でほとんど尽きています．
具体的にどこでつまったか書かれた方がよろしいかと思います．

補足

以前のやり方によると体積要素というのが解答にあったのですが、まず体積要素っていうのがよくわからなかったです。φは被積分関数に含まれないから2πを与えるだけというのもあったのですが何が2πを与えるのですか？
あと

2π∬[r^2sinθdrdθdφ/（r^2-4arcosθ+4a^2)]

の計算したのですがsiegmundさんのような値にならなくて答えもでてきませんでした。siegmundさんが出した

(1/2)πr[log(2a+r)-log(2a-r)]

の計算もしてみましたがこちらのほうもできませんでした。（自分の計算ミスだとは思いますが積分がずっと続くパターンになってしまいました。）
このような感じな質問ですが（少し多すぎてスイマセン。）もしよかったらまたやってもらえますか。