積分

質問

(1)
空間内のx^2+y^2≦z≦x+2
で定義される領域の体積を求めよ

(2)
極座標を用いて積分せよ。
∫∫｛e^-(x^2+xy+y^2) }dxdy
積分範囲 x≧0,-x≦y≦x

この問題が分かりません。教えてください

回答No.6

noname#232123

※再三のミスでまことに申し訳ありません。今度はタイプミスです。
(第二問)の最後で、
V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{1+sinφ*cosφ}
=∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{2+sin(2φ)}
=pi/(2√3).
となりました。ご確認ください。
何度も書き直し、大変失礼いたしました。

回答No.5

noname#232123

※再三のミスでまことに申し訳ありません。
(第二問)の最後で、
V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{1+sinφ*cosφ}
=pi/√3.
となりました。ご確認ください。

回答No.4

noname#232123

※先に計算しました結果に計算ミスがありました。お詫びして訂正します。
(第二問)
・・・
V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{(sin(φ/2)+cos(φ/2)}^2
=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{√2*cos(φ/2 - pi/4)}^2
=(1/4)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{cos(φ/2 - pi/4)}^2.
tan(φ/2 - pi/4)=u とおいて、
V=(1/4)∫[-3pi/8 to -pi/8]2*du=pi/8.

この最後の部分で、積分範囲を置換していませんでした。
正しくは、
V=(1/4)∫[tan(-3pi/8) to tan(-pi/8)] 2du=(1/2){tan(3pi/8) - tan(pi/8)}
=(1/2)*{(√2+1)-(√2-1)}=1.
となりました。

回答No.2

noname#232123

1)
D={(x, y)|(x-1/2)^2+y^2≦9/4, z=0} とすると求める立体の体積Vは、
V=∫∫[D]{(x+2)-(x^2+y^2)}dxdy
＝∫[-1 to 2]{∫[-√{9/4-(x-1/2)^2} to √{9/4-(x-1/2)^2}}](2+x-x^2-y^2)dy}dx.

∫[-√{9/4-(x-1/2)^2} to √{9/4-(x-1/2)^2}}](2+x-x^2-y^2)dy
=2∫[0 to √{9/4-(x-1/2)^2}}](2+x-x^2-y^2)dy
=2[(2+x-x^2)y - (1/3)y^3]
=2*{(2+x-x^2)*√(2+x-x^2) - (1/3)√(2+x-x^2)^(3/2)}=(4/3)*{2+x-x-2}^(3/2).
ですから、
V=(4/3)*∫[-1 to 2](2+x-x^2)^(3/2)dx=(4/3)*∫[-1 to 2]{9/4 - (x-1/2)^2}^(3/2)dx
x-1/2=(3/2)*cosφ、(|φ|≦pi/2) と置き換えて、
(27/2)*∫[0 to pi/2](cosφ)^4*dφ=(27/2)*(3/4)*(1/2)*pi/2)=(81/32)*pi.

2) 極座標へ変換して、
V=∫[-pi/4 to pi/4]{∫[0 to ∞] e^{-r^2-r^2*cosφ*sinφ}*rdr}dφ.

∫[0 to ∞] e^{-r^2-r^2*cosφ*sinφ}*rdr＝lim[R to ∞]∫[0 to R]e^{-r^2(1+cosφ*sinφ)}*rdr

∫[0 to R]e^{-r^2(1+cosφ*sinφ)}*rdr={1/(2(1+sinφ*cosφ))}*{1 - e^{-R^2(1+sinφ*cosφ)}}
→1/{2(1+sinφ*cosφ)}. ですから、
V=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{(sin(φ/2)+cos(φ/2)}^2
=(1/2)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{√2*cos(φ/2 - pi/4)}^2
=(1/4)*∫[-pi/4 to pi/4] dφ/{cos(φ/2 - pi/4)}^2.
tan(φ/2 - pi/4)=u とおいて、
V=(1/4)∫[-3pi/8 to -pi/8]2*du=pi/8.

となりました。

回答No.1

info222_

(1)
空間内のx^2+y^2≦z≦x+2
で定義される領域の体積V
V=∫∫∫[x^2+y^2≦z≦x+2] dxdydz
積分領域の立体がx-z座標軸平面(x=0)に対称なので
V=2∫∫[x^2+y^2≦x+2, y≧0] (x+2-(x^2+y^2))dxdy
この積分領域Dは半円盤　(x-1/2)^2+y^2≦9/4 (y≧0) なので
D={(x,y)|x^2+y^2≦x+2,y≧0}
　={(x,y)| -1≦x≦2, 0≦y≦√(3/2)^2-(x-1/2)^2)
　= {(x,y)| 0≦y≦1/2, 1/2-√((3/2)^2-y^2)≦x≦1/2+√((3/2)^2-y^2)},

V=2∫[0,1/2]dy ∫[1/2-√((3/2)^2-y^2), 1/2+√((3/2)^2-y^2)] (x+2-(x^2+y^2))dx
=2∫[0,1/2]dy {[x^2+2x-x^3/3-xy^2][1/2-√((3/2)^2-y^2), 1/2+√((3/2)^2-y^2)]}
=∫[0,1/2] {3√(9-4y^2)-(4/3)y^2√(9-4y^2)}dy
=[(81/16)sin^-1(2y/3)+(y/12)(9-4*y^2)^(3/2)+(9y/8)√(9-4y^2)][0,1/2]
=(81/16)sin^-1(1/3)+(43/24)√2 ...(答)

(2)
極座標変換
x=rcosθ , y=rsinθ
による変数変換すると
積分範囲Dは
D={(x,y)| x≧0,-x≦y≦x}
={(r,θ)|0≦r, -π/4≦θ≦π/4}
対称性より
D'={(x,y)| x≧0,0≦y≦x}
={(r,θ)|0≦r, 0≦θ≦π/4}

I=∫∫[D]｛e^(-(x^2+xy+y^2)) }dxdy
=2∫∫[D']｛e^(-(x^2+xy+y^2)) }dxdy
=2∫∫[D']｛e^(-r^2(1+sin(2θ)/2)) } rdrdθ
=2∫[θ:0,π/4] dθ {[-1/(2(1+sin(2θ)/2))e^(-r^2(1+sin(2θ)/2))][r:0,∞]}
=∫[0,π/4] {1/(1+sin(2θ)/2)}dθ
=[(2/√3)tan^-1((2sin(2θ)+cos(2θ)+1)/(√3(cos(2θ)+1)))][0,π/4]
=(2/√3)(tan^-1(√3)-tan^-1(2/√3))
=π(√3/9) ...(答)