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2曲面に囲まれた体積を求めよ
- 質問者は、2つの曲面に囲まれた体積を求めているが、求めた体積が負になってしまったため、間違いを知りたいと述べている。
- 問題の解法として、2つの曲面の合成を行い、平方完成して領域を求めている。
- しかし、質問者の解答を検証すると、体積の計算に誤りがあることが分かった。正しい解法について教えてほしいと述べている。
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質問者が選んだベストアンサー
>(x-1)=rcosθ >(y-2)=rsinθ とおくと >領域E:0≦r≦√3,0≦θ≦2π,ヤコビアンJ=r ここまでは合っています。 >∫∫［E］(ｒ^2-3)rdrdθ=2π(9/4-3/2)=-(9/2)π この左辺の積分の積分領域 [E]も合っていますが、被積分関数(r^3-3)が間違っています。 正しい被積分関数は「6-2r^2」です。これは 求める立体の上の曲面z2=16-(x-2)^2-(y-4)^2 から下の曲面z1=x^2+y^2 を引いたz2-z1を 領域[E]について積分すればいいです。 z2-z1=16-(x-2)^2-(y-4)^2-(x^2+y^2) x=1+rcosθ, y=2+rsinθを代入して計算すると z2-z1=6-2r^2 となりこれにヤコビアンrを掛けて V=∫∫[E] (6-2r^2) rdrdθ で正しい体積が計算できます。 計算すると V=2π[3r^2-(1/2)r^4][0,√3]=9π となります。 お分かり？ 間違ってる所を教えて下さい。
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z1=x^2+y^2, z2=-(x-2)^2-(y^4)^2+16 とおくとこれらの曲面の交線の、xy平面への正射影は、 (x-1)^2+(y-2)^2=3 となり、この円の内部では、z2>z1 となっています。 D={(x, y) | (x-1)^2+(y-2)^2≦3} とすると求める体積Vは、 V=∫∫[D]{-2(x-1)^2-2(y-2)^2+6}dxdy x-1=X, y-2=Y とおくと、D'={(X, Y) | X^2+Y^2≦3} として、 V=∫∫[D']{-2X^2-2Y^2+6}*1*dXdY =∫[0 to 2pi]{∫[0 to √3] {-2r^2+6}rdr}dφ=9pi. となりました。 -------------------- ※計算ミス、タイプミスの可能性もあります。
お礼
ありがとうございました。