三重積分の問題です。

質問

空間の極座標変換を用いて、次の積分の値を計算しなさい。

∬∫(x^2＋y^2＋z^2)dxdydz、範囲がx^2+y^2+z^2≦a^2 です。

極座標変換で(ｒ、θ、φ)=｛0≦r≦a
　　　　　　　　　　　　　　　　0≦θ≦2π
　　　　　　　　　　　　　　　　0≦φ≦2π｝と範囲をおき、
x=r sinθ cosφ
y=r sinθ sinφ
z=r cosθ
と変換しました。

ここから積分の仕方が少しわかりませんでした。
一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。
もしわかる人がいましたら教えてください

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>極座標変換で
>　(ｒ,θ,φ)=｛0≦r≦a, 0≦θ≦2π, 0≦φ≦2π｝と範囲をおき

これは間違いで正しくは

　(ｒ,θ,φ)=｛0≦r≦a, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π｝

です。
球座標変換
　x=r sinθ cosφ
　y=r sinθ sinφ
　z=r cosθ
でヤコビアン|J|=|∂(x,y,z)/∂(ｒ,θ,φ)|=(r^2)sinθ
なので（計算は参考URLの球座標の所をご覧下さい。）
　(x^2＋y^2＋z^2)dxdydz=(r^2)|J|drdθdφ=(r^4)sinθdrdθdφ
従って
I=∬∫[D](x^2＋y^2＋z^2)dxdydz
=∫[0,2π]dφ∫[0,π]sinθdθ∫[0,a] (r^4)dr
=2π*2*(a^5)/5
=(4/5)πa^5

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ヤコビ行列

お礼

回答ありがとうございます。

範囲が　(ｒ,θ,φ)=｛0≦r≦a, 0≦θ≦π, 0≦φ≦2π｝だったんですね。

すっきりしました。

本当にありがとうございます。