三重積分についてです

質問

∬∫u y dxdydz, U : x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦1
について積分値を計算するのですが、x,y,zについての範囲をどのように求めたらいいか、その後どのように計算すればいいかわかりません。
どなたかご指導お願いします。

回答No.1

info22_

Uは三角錐の領域です。
この3重積分は
先ずzについて積分すれば
積分領域　R={(x,y)|x+y≦1,x≧0,y≧0}上の積分になります。

V=∫∫∫[U] y dxdydz
=∫∫[R] y{∫[0,1-x-y] dz}dxdy
=∫∫[R] y(1-x-y)dxdy
=∫[0,1]ydy∫[0,1-y] ((1-y)-x)dx
=∫[0,1]ydy [(1-y)x-(1/2)x^2][x:0,1-y]
=∫[0,1]ydy [(1-y)^2-(1/2)(1-y)^2]
=(1/2)∫[0,1] y(1-y)^2 dy
=(1/2)∫[0,1] (y-2y^2+y^3) dy
=(1/2)[(1/2)y^2-(2/3)y^3+(1/4)y^4][0,1]
=(1/2){(1/2)-(2/3)+(1/4)}
=(1/24)(6-8+3)
=1/24