三重積分

質問

∫∫∫Dx^3y^2z dxdydz , D={(x,y,z)|0≦z≦y≦x≦a}
積分範囲がDです。この積分って、
ｚを０≦ｚ≦ｙ、ｙを０≦ｙ≦ｘ、ｘを０≦ｘ≦aで
積分すればいいんですか？？

∫∫∫Dx^2 dxdydz , D={(x,y,z)|x^2＋y^2＋z^2≦a^2}
(aは正の定数)
積分範囲がDです。この積分の範囲ってどうやってとればいいんですか？
この積分の解き方を教えてください。

回答No.2

dollar · ベストアンサー

前半部分は合ってるので、後半の問題について。
三次元の球座標についてはご存知でしょうか？
球座標を用いて「x,y,zの式」から「r,θ,φの式」に書き換えてください。このx,y,zとr,θ,φの間には、
x=rsinθcosφ
y= rsinθsinφ
z=rcosθ
の関係があります。

（１）積分区間の書換え
積分区間は原点中心で半径１の球の内部ですから、
0≦r≦1
0≦θ≦2π
0≦φ≦2π
です。

（２）被積分関数の書換え
で、被積分関数は
x^2
なので、書き換えると
x^2=r^2sin^2(θ)・cos^2(φ)
ですね。サイン２乗の書き方がちょっと見にくいですが。

（３）dxdydzの書換え
ここで注意すべきは、忘れてならないヤコビアンです。
今回の場合ヤコビアンはr^2sinθですから、
dxdydz=r^2sinθ・drdθdφ
と書き換えられます。

（４）いよいよ積分実行
x^2=r^2sin^2(θ)・cos^2(φ)
dxdydz=r^2sinθ・drdθdφ
より、
x^2 dxdydz =r^4・sin^3(θ)・cos^2(φ)・drdθdφ
を積分すれば良いのです。ただし積分区間は
0≦r≦1
0≦θ≦2π
0≦φ≦2π
です。うーん、ここから先はあまりやりたくないなあ。特にサイン３乗のあたりが。
rとφの積分はすぐできるはずです。
あっサイン３乗の積分がわからなかったらお礼欄にその旨書いてください。確か部分積分でできるはず。

お礼

ありがとうございます。サイン３乗の積分はわかるので大丈夫です。お蔭様でとくことができました(^^)ｖ

回答No.4

siegmund

siegmund です．

後半の話で，対称性から x^2 の代わりに y^2 や z^2 と書いても
積分値は同じですから
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
を使って
∫∫∫_D x^2 dxdydz = (1/3) ∫{r=0→a} r^2 4πr^2 dr
とすれば三角関数の積分はやらないで済みます．

お礼

丁寧な説明ありうがとうございます。お蔭様で問題を解くことができました！！

回答No.3

dollar

すいません。一部訂正。
積分区間は半径１じゃなくて半径aでした。
従って積分区間は
0≦r≦a
ですね。他のところは間違ってないはず。

回答No.1

siegmund

前半はそのとおりです．
でも，
「ｘを０≦ｘ≦aで積分」とは言わないでしょう．
「ｘについて０から a まで積分」など．

後半は極座標を使う一手でしょう．
対称性から x^2 の代わりに y^2 や z^2 としても同じですから，
被積分関数を x^2 + y^2 + z^2 = r^2 として積分し，
あとで 1/3 にするのが簡単でしょうか．