（再）三角関数の不等式が解けません

質問

π＜θ＜２πのとき、
(2+√3)Sinθ+(1+√3)Cosθ≧|Sinθ| の不等式をとけ

これがとけません。合成がどうもうまい数値にならなくて。。。

よろしくお願いします

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

とりあえず、π ＜ θ ＜ ２π なので、sinΘ < 0 ですから、
与式 ⇔ (2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ ≧ -sinθ ですね。
右辺を移項して、(3+√3)sinθ+(1+√3)cosθ ≧ 0。
両辺を (1+√3) で割って、(√3)sinθ+cosθ ≧ 0。

ここから、「三角関数の合成」をやります。
√{ (√3)^2 + 1^2 } = 2 で両辺を割って、
(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ ≧ 0。
cos(π/6) = √3/2, sin(π/6) = 1/2 に気づけば、
与式 ⇔ sin(Θ+π/6) ≧ 0 であることが解ります。

π+π/6 ＜ θ+π/6 ＜ 2π+π/6 より、
sin(Θ+π/6) ≧ 0 の解は 2π ≦ θ+π/6 ＜ (13/6)π 。
(ここは、y = sin x のグラフを眺めて考える。
θ+π/6 = φ とか置いてみると考えやすいかも。)

整理して、2π-π/6 ≦ θ ＜ 2π。

お礼

なるほど、
(3+√3)sinθ+(1+√3)cosθ ≧ 0
からできることっていえば、(3+√3)と(1+√3)との間の関係を考えるしかないですもんね。
で、３＝√3×√3に注目ですね。なるほど。

ちなみに
「√{ (√3)^2 + 1^2 } = 2 で両辺を割って」はむずい。。。
単純にヤマカンで自分なら２でわってましたｗ

ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

また今回も、そういうまねを…

回答No.3

info22_

(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧|sinθ| ...(1)
π＜θ＜2πのとき sinθ<0 なので
　(2+√3)sinθ+(1+√3)cosθ≧-sinθ
移項して
　(1+√3)√3sinθ+(1+√3)cosθ≧0
(1+√3)>0で割って
　√3sinθ+cosθ≧0
合成して
　2{sinθ(√3/2)+cosθ(1/2)}≧0
　2sin(θ+(π/6))≧0
π＜θ＜2πのとき 7π/6＜θ+(π/6)＜13π/6なので
sin(θ+(π/6))≧0となる範囲は
　2π≦θ+(π/6)＜13π/6
∴11π/6≦θ＜2π ...(答え)

回答No.2

Tacosan

ふつ～に sin や cos って書けばいいのに, なぜ「Sin」「Cos」と書いているのか.

さておき, まさか左辺をこのまま合成しようなどと思っていませんか?