三角不等式

質問

こんにちは。
むずかしい問題にあったのでご教授ください。

問い　0°=<θ=<180°のとき、つぎの方程式を解きなさい。

√2(sinθ+cosθ)>1

解答
・・・不等式は
sin(θ+45°)>1/2

45°=<θ+45°=<225°
ここまではわかるのですが、

45°=<θ+45°<150°　
よって0°=<θ<105°

→150°？
最後の２行の求め方について教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

√2(sinθ+cosθ)>1 ⇔ 2sin(θ+45°)>1 [合成した]⇔ sin(θ+45°)>1/2

これを単位円を描いて, sinなので x^2+y^2=1 のうち y>1/2 の範囲を考えると, 単位円のうち, y=1/2 よりも上側（ｙ座標が大きい方）で
((√3)/2，1/2)　から　（－(√3)/2，1/2） までの部分（両端含まず）
より，30°＜θ+45°＜150°の範囲です.
[（x,y)=(cos(θ+45°),sin(θ+45°)）の存在範囲を求めていることに注意．]

これと 0°≦θ≦180°⇔　 45°≦θ+45°≦225°の条件を合わせると，共通部分なので
45°≦θ+45°＜150°
すると整理して　０°≦θ＜105°となります．

お礼

回答ありがとうございました。
解説非常にわかりやすかったです。おかげでこの問題は理解できました。