三角関数の不等式についてです

質問

cos２Θ－sinΘ≦０の不等式を、０≦Θ＜２πの範囲で解け。

で、因数分解の形にして、sinΘ≦－１、２分の１≦sinΘとなるのですがなぜでしょうか？
また、－１≦sinΘ≦１という条件？が不等式の問題だと必ずでてくるのですがこれはどういうことですか？

ちなみに答えは６分のπ≦Θ≦６分の５π、Θ＝２分の３πです。

この問題はニューグローバルβの２９７です。

よろしくおねがいします。

回答No.4

alice_44

s = sinθ で置き換えると、
質問の式は二次不等式となって、
s≦-1 または 1/2≦s と解けます。

θ が虚数でもよければ、sinθ = -2 等で
式が成立する場合もありますが、
0≦θ＜2π と制限されているので
-1≦sinθ≦1 であり、
s=-1 または 1/2≦s≦1 の範囲で
対応する θ を探すことになります。

回答No.3

sanori

こんにちは。

cos２θ　＝　cos^2θ　－　sin^2θ　＝　（１－sin^2θ）　－　sin^2θ
　＝　１　－　２sin^2θ

＞＞＞sinΘ≦－１、２分の１≦sinΘとなるのですがなぜでしょうか？

ｔ　＝　－（cos２θ　－　sinθ）
と置いて、

ｔ　＝　－｛（１　－　２sin^2θ）　－　sinθ｝
　＝　２sin^2θ　＋　sinθ　－　１

sinθ　＝　ｘ　と書くことにして

ｔ　＝　２ｘ^2　＋　ｘ　－　１
２ｔ　＝　４ｘ^2　＋　２ｘ　－　２
　＝　（２ｘ）^2　＋　２ｘ　－　２
　＝　｛（２ｘ）^2　＋　２ｘ　＋　１／４｝　－　２　－　１／４
　＝　（２ｘ　＋　１／２）^2　－　９／４

cos２Θ－sinΘ≦０　であるためには　２ｔ≧０　なので

（２ｘ　＋　１／２）^2　－　９／４　≧　０
（２ｘ　＋　１／２）^2　－　（３／２）^2　≧　０
（２ｘ　＋　１／２　＋　３／２）（２ｘ　＋　１／２　－　３／２）　≧　０
（２ｘ　＋　２）（２ｘ　－　１）　≧　０
４（ｘ　＋　１）（ｘ　－　１／２）　≧　０
ｘ≦－１　または　ｘ≧１／２
sinθ≦－１　または　１／２≦sinθ

しかし、－１≦sinθ≦１　なので、
sinθ＝－１　または　１／２≦sinθ≦１
θ＝２７０°　または　３０°≦θ≦１５０°
ラジアンで書けば
θ＝２π×２７０／３６０　　または　　２π×３０／３６０≦θ≦２π×１５０／３６０
θ＝３π／２　　または　　π／６≦θ≦５π／６

＞＞＞また、－１≦sinΘ≦１という条件？が不等式の問題だと必ずでてくるのですがこれはどういうことですか？

そもそも、sin や cos は、１より大きくなれるんでしたっけ？
（原点が（０，０）で半径が１の円周上の点のＸ座標が cos 、Ｙ座標が sin なので、１より大きくなれません。）

回答No.2

noname#157574

cos 2θ-sinθ≦0
(1-2sin²θ)-sinθ≦0
2sin²θ+sinθ-1≧0
(2sin²θ-1)(sinθ+1)≧0
sinθ≦-1，1/2≦sinθ
ここで 0≦θ< 2πであるから
sinθ=-1，1/2≦sinθ≦1
π/6≦θ≦5π/6，θ=3π/2

回答No.1

k_kota

＞－１≦sinΘ≦１という条件

まず、三角関数とは何かを勉強してグラフでも書けばいいと思います。
理解する気があるなら、基礎からやらないとだめです。
一時しのぎでいいならテキトウにどうぞ。

因数分解の形と言うのが分かりませんけど、cos2θがあるので、倍角公式を使ってsinθだけの形にすればOKでしょうね。

まず、角度の部分が同じものだけに変換するのを考えないと解くのが大変になります。

答えだけじゃなく、基礎をやらないとそのうち引き返せないことになるかもしれません。