三角関数の合成と最小値について

質問

『0°≦θ≦90°のとき、sinθ+√3cosθの最小値を求めよ』という問題が分からないでいます。
以下に途中までの考え方を書きます。（解答は1です）

sinθ+cosθを合成して文字を1種類にすると、

(与式)=2sin(θ+π/3)

0°≦θ≦90°は0≦sinθ≦1だから、不等式は

0≦2sin(θ+π/3)≦1
0≦sin(θ+π/3)≦1/2

θ+π/3=tとおくと、
0≦sint≦1/2

0°≦θ≦90°は0≦θ≦1/2πだから、、
0≦sin(θ+π/3)≦1/2π
π/3≦θ+π/3≦(1/2+1/3)π
π/3≦θ+π/3≦5/6π

ここまでは考えつき、次にtの範囲を調べれば良さそうなのはなんとなく想像はつくのですが、具体的にどう続きを持っていけば良いのか困っています。
ご回答どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

『0°≦θ≦90°のとき、sinθ+√3cosθの最小値を求めよ』という問題が分からないでいます。以下に途中までの考え方を書きます。（解答は1です）

sinθ+cosθを合成して文字を1種類にすると、(与式)=2sin(θ+π/3)

0°≦θ≦90°は0≦sinθ≦1だから、
不等式は0≦2sin(θ+π/3)≦1　（★）
　　0≦sin(θ+π/3)≦1/2
θ+π/3=tとおくと、
0≦sint≦1/2

0°≦θ≦90°は0≦θ≦1/2πだから、、
0≦sin(θ+π/3)≦1/2π
π/3≦θ+π/3≦(1/2+1/3)π
π/3≦θ+π/3≦5/6π

ここまでは考えつき、次にtの範囲を調べれば良さそうなのはなんとなく想像はつくのですが、具体的にどう続きを持っていけば良いのか困っています。
ご回答どうぞよろしくお願いいたします。

（★）の部分から誤解が生じていて、後半になるにつれ混乱しているように思いますよ。

　→0°≦θ≦90°から（せっかく合成した角の範囲を絞って…）

　　60°≦θ＋60°≦150°（この範囲のsinの取り得る範囲を考えて…）

　　1/2≦sin(θ＋60°)≦1

　　だから、不等式は　1≦２sin(θ＋60°)≦2

　　この不等式の段階で、質問者さんのおっしゃるように、最小値は1　となります。

　　また、この時、1＝２sin(θ＋60°)　なので、　sin(θ＋60°)＝1/２

　　つまり、θ＋60°＝150°→θ＝90°

　＊問題文では「度数法」ですから、解答の際もそれに従った方がいいと思いますよ^^A。

お礼

一行一行丁寧に書いて下さり、間違い始める個所をピンポイントで教えて下さった、こちらの回答をベストアンサーとさせていただきます。ありがとうございました！
プラスアルファのアドバイスにも今後注意していきたいと思います。

回答No.5

mister_moonlight

三角の合成が分かりにくければ、次のようにしても良い。

sinθ＝y、cosθ＝xとすると、x＾2＋y＾2＝1、y≧0、x≧0、(√3)x＋y＝k　となる。
単位円の第1象限の部分で直線：y＝-(√3)x＋k　のy切片kの最大・最小を考える。
直線が円に接する時が最大、点(0、1)を通る時が最小。

お礼

なるほど……。こうするとグラフを使うだけで、ごちゃごちゃした計算をせずに解けますね。
ぜんぜん考えようともしませんでした。すごいです。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

rt18546

三角関数の合成までは問題なさそうですので、
最小値の求め方をメインに説明します。

まずsinθ+√3cosθをtと置き、三角関数の合成で
与えられた式を以下の様に変形します。

t=2sin(θ+π/3)・・・(1)

0°≦θ≦90°のとき、θ＋π/3の不等式は
60°≦θ＋π/3≦150°・・・(2)
になります。

ここまでは質問者様も問題なくできていますが、
sin(θ+π/3)の不等式を求めるところに誤りがあります。

sin(θ+π/3)の不等式は以下の様になります。
sin150°≦sin(θ＋π/3)≦sin90°・・・(3)
（∴sin90°＞sin60°＞sin150°）

よって、tの最小値は
t=2×sin150°・・・(4)

t=1
と導くことができます。

お礼

t=2×sin150°

このとき、sin150°=sin(180-30)°=1/2
t=2×1/2=1

ということですね。
焦点を絞った回答に感動しました。
ご回答ありがとうございました！

回答No.3

hrsmmhr

0≦sint≦1/2⇔0+2nπ<=t<=π/6+2nπ or 5/6π+2nπ<=t<=π+2nπ(nは整数)
これとπ/3<=t<=5/6πとの共通部分を

お礼

こういうアプローチもあるんですね。
私にはちょっと使いこなせそうにありませんが（汗）

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

いったいなにをやっているのか.

0°≦θ≦90°
と
θ+π/3=t
から t の範囲を出そうとしないのはなぜ?

お礼

怒らせてすみませんでした。それでも回答して下さってありがとうございました。