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三角関数の合成と最小値を求める問題について
- 『0°≦θ≦90°のとき、sinθ+√3cosθの最小値を求めよ』という問題について分からないです。sinθ+cosθを合成すると、(与式)=2sin(θ+π/3)となります。不等式を考えると、0≦2sin(θ+π/3)≦1, 0≦sin(θ+π/3)≦1/2となります。
- また、θ+π/3=tとおくと、0≦sint≦1/2となります。0°≦θ≦90°は0≦θ≦1/2πになりますので、0≦sin(θ+π/3)≦1/2π, π/3≦θ+π/3≦(1/2+1/3)πとなります。
- この考え方までは分かったのですが、tの範囲を具体的にどのように設定すれば良いかわからない状況です。回答をお待ちしております。
- marumi1919
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- mister_moonlight
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三角の合成が分かりにくければ、次のようにしても良い。 sinθ＝y、cosθ＝xとすると、x＾2＋y＾2＝1、y≧0、x≧0、(√3)x＋y＝k となる。 単位円の第1象限の部分で直線：y＝-(√3)x＋k のy切片kの最大・最小を考える。 直線が円に接する時が最大、点(0、1)を通る時が最小。
お礼
なるほど……。こうするとグラフを使うだけで、ごちゃごちゃした計算をせずに解けますね。 ぜんぜん考えようともしませんでした。すごいです。 ご回答ありがとうございました。
- rt18546
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三角関数の合成までは問題なさそうですので、 最小値の求め方をメインに説明します。 まずsinθ+√3cosθをtと置き、三角関数の合成で 与えられた式を以下の様に変形します。 t=2sin(θ+π/3)・・・(1) 0°≦θ≦90°のとき、θ＋π/3の不等式は 60°≦θ＋π/3≦150°・・・(2) になります。 ここまでは質問者様も問題なくできていますが、 sin(θ+π/3)の不等式を求めるところに誤りがあります。 sin(θ+π/3)の不等式は以下の様になります。 sin150°≦sin(θ＋π/3)≦sin90°・・・(3) （∴sin90°＞sin60°＞sin150°） よって、tの最小値は t=2×sin150°・・・(4) t=1 と導くことができます。
お礼
t=2×sin150° このとき、sin150°=sin(180-30)°=1/2 t=2×1/2=1 ということですね。 焦点を絞った回答に感動しました。 ご回答ありがとうございました！
- hrsmmhr
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0≦sint≦1/2⇔0+2nπ<=t<=π/6+2nπ or 5/6π+2nπ<=t<=π+2nπ(nは整数) これとπ/3<=t<=5/6πとの共通部分を
お礼
こういうアプローチもあるんですね。 私にはちょっと使いこなせそうにありませんが（汗） ご回答ありがとうございました。
- Tacosan
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いったいなにをやっているのか. 0°≦θ≦90° と θ+π/3=t から t の範囲を出そうとしないのはなぜ?
お礼
怒らせてすみませんでした。それでも回答して下さってありがとうございました。
お礼
一行一行丁寧に書いて下さり、間違い始める個所をピンポイントで教えて下さった、こちらの回答をベストアンサーとさせていただきます。ありがとうございました！ プラスアルファのアドバイスにも今後注意していきたいと思います。