三角関数の不等式

質問

以下の質問について教えてください。

０°＜＝θ＜３６０°のとき、つぎの不等式を解きなさい。

cos2θ>sinθ

解説・解答
1-2sin^2θ>sinθ
(sinθ+1)(2sinθ-1)<0　　←ここまではわかるのですが、

sinθ+1>=0から　←悩み始めます。なぜ「>=0」？
sinθ+1≠0, 2sinθ-1<0
ゆえにsinθ≠-1, sinθ<1/2
よって0°=<θ<30°, 180°<θ<270°　←sinθ<1/2だと、私の場合、30°<θ<150°
270°<θ<360°　　　　　　　　　　　　　　　なんですが、ちがってしまいます。

わかりやすく教えてもらえるとありがたいです。
お願いします。

回答No.3

zabuzaburo · ベストアンサー

ご質問そのものには#1・#2の方が
分かり易く答えてくださっていますね。
いちばん分かりにくいのは
handmishさんのお持ちのテキストの
解答を書いた人のようです(^^;)

どういうふうに解答・解説を書いてくれていたら
悩まなくて済んだのか、考えてみましょう。

(sinθ + 1)(2sinθ - 1) < 0
見やすいように sinθを「x」と書くと
(x + 1)(2x - 1) < 0
これは2次不等式ですから、
2次不等式を解くことに習熟している人なら、
何も細工をしなくても
- 1 < x < 1/2
という解を得ることができます。
あとは、これを「-1 < sinθ < 1/2」と戻して
単位円やグラフとにらめっこをすれば良いですね。

ただし、2次不等式になじみの無い人には、
今書いたことは意味不明に映ることでしょう。
そこで、この問題では
「『たまたま』前の項が負になり得ない」
ということを利用して、両辺を約して
1次不等式に落として解いているわけです。
したがって、かりにこの不等式が一箇所だけ違って、
(2sinθ + 1)(2sinθ - 1) < 0
になっただけで、もう通用しなくなる方法です。

それにしても、
>> sinθ + 1 ≧ 0 から
>> sinθ + 1 ≠ 0, 2sinθ - 1 < 0
のところは、原本のままだとしたらお粗末な解説です。
真面目に書くと、例えばこういう解答になります。
------------
(sinθ + 1)(2sinθ - 1) < 0……(*)
ここで、sinθ + 1 ≧ 0 である。
[ア]sinθ + 1 > 0のとき(つまり sinθ > - 1 のとき)
(*)の両辺を sinθ + 1 で割っても不等号の向きは変わらず、
2sinθ - 1 < 0 すなわち sinθ < 1/2
[イ]sinθ + 1 = 0 のとき
(*)の左辺は0となるので、(*)は成立しない。

[ア][イ]より、(*)は
- 1 < sinθ < 1/2 となる。
------------

ちなみに現役の高校生の人の中にも、不親切な解答・解説に直面して
理解できないことを自分のせいにしてしまっている人がたくさんいます。
ちょっとそのことが気になったので書かせていただきました。

お礼

＞見やすいように sinθを「x」と書くと
＞(x + 1)(2x - 1) < 0

のところわかりやすかったです。頭の整理つきました。
またよろしくお願いします。

回答No.2

fushigichan

こんにちは。
まず、
＞(sinθ+1)(2sinθ-1)<0　　←ここまではわかるのですが、
＞sinθ+1>=0から　←悩み始めます。なぜ「>=0」？

０°≦θ＜360°ですから、-1≦sinθ≦1ですよね。よって
両辺に１を足しても、0≦sinθ≦2となるので、sinθはゼロ以上です。
また、かけて負になるということは、
sinθ+1も、2sinθ-1も、どちらもゼロではないことがいえます。
したがってsinθ≠-1,sinθ≠1/2
ですから、θ≠270°、30°、150°です。
さらに、sinθ+1で両辺を割っても、不等号の向きは変わらないので
2sinθ-1＜0です。
ここで、感覚として、sinθ=1/2となるθを求めると、θは30°と150°ですよね。θ=0°のときsinθはゼロですから、sinθの値が1/2より小さいのは
0°＜θ＜30,150°＜θ＜270°、270°＜θ＜360°となります。

お礼

わかりやすい回答ありがとうです。
意味不明だったのが８０％は理解できました。またよろしくお願いします。

回答No.1

tamagawa49

> sinθ+1>=0から　←悩み始めます。なぜ「>=0」？
-1<=sinθ<=1なので、0<=sinθ+1<=2。つまりsinθ+1>=0。

次にsinθというのは、半径1の円(単位円)の中に出来る三角形の「高さ」なので、30°<θ<150°では、逆に sinθ>1/2になってしまいます。(ちょうど逆)

ですから、30°<θ<150°を除く下側の角度になります。
角度は0°～360°ですから、下側と言った場合、
0°～30°と150°～360°と２つに分けて表されます。
ところが、270°のときは、sinθ=-1になってしまい、(sinθ+1)(2sinθ-1)<0が成立しません。(sinθ+1)(2sinθ-1)=0となる。

そこで270°だけを除いた
0°<=θ<30°，150°<θ<270°，270°<θ<360°
となります。

お礼

わかりやすい回答ありがとうです。分量で決めましたのでポイントできなくてすみません。でもまたよろしくお願いします。