有限体上で代数多様体の無限遠点の解の求め方

質問

久賀道郎氏の数セミの記事を読んでいるのですが、有限体上で代数多様体の無限遠点での解の求め方を教えていただけませんでしょうか。例えば、
(1)x有限体F_7上で　x＾4-20x^3+56x^2-44x-y^2=0 の無限遠点の解は2個と書いていますが、どう求めるのでしょうか？射影的にして、x＾4-20x^3z+56x^2z＾2-44xz^3-y^2z^2=0で、z＝0が無限遠点になると思うのですが、(x＝0,y=1),(x=0,y=2), など6個解があるように思うのですが？
(2)有限体F_7上で　x＾3+y^3=2 の無限遠点の数は１個と書いていますが、2個のように思うにですが。
(3)有限体F_7上で　y^2+y=x^3+x^2 点の数は１個と書いていますが,もっと有りそうに思うのですが。

回答No.1

Tacosan

全然回答にはなりませんが, ちょっと気になったので:

そもそも, 無限遠点の「個数」はどのように数えているのでしょうか? 言い替えれば, 2つの無限遠点が「等しい」かどうかを, どう判断するのでしょうか?

お礼

コメントありがとうございました。考えて少し進歩しました。

無限遠点は、x＝無限大、かつ/または、y＝無限大ですので、x⇒x/z　y⇒y/z　としてz⇒0が無限遠点で、
全体でzを払ってx、y、zの多項式としておき、z＝０が無限遠点でx：y：0が比として等しければ同じ解と
すると、無限遠点で多くの解がありえます。
（2）の場合だと、x＾3+y^3=2z^3(mod 7)として、z＝０とすると、x：y：z=2：3：0, 3：2：0 が
解のように思うので、やはり２個と思います。
(3）の場合は、zy^2+z^2y=x^3+zx^2 (mod 7)　で　z＝０とすると、x^3＝０(mod 7) で
x＝０でy=1,2,…,6が解ですが、比　x：y：zとしてはどれも、０：１：０で１つしか解がない
ということで(３）は納得しました。
(１）は（３）と同じ考え方で、０：１：０しか解はないと思うのですが。

とりあえずお礼まで。