変数係数の代数方程式

質問

簡単のため、2次での例をあげます。
x^2+a(z)x+b(z)=0
というxについての2次方程式を考えます。これはzを止めるごとに二つの複素数解を持ちます。もしa(z)とb(z)が連続であれば、zに関してそれらの二つの解は連続になります。もしa(z)とb(z)がともに正則関数なら、二つの解は判別式が0となる点を除いてzの正則関数になります。それらのことは、解の公式をみればただちにわかります。判別式が0になる点は代数的特異点になる可能性があり、周期2である可能性があります。この事実も解の公式をみればすぐにわかります。

これを一般化して、最高次の係数が1で、係数がzの関数になっているようなn次方程式を考えます。n個の解はそれぞれzの関数と考えることができますが、有限個の例外点をのぞけば、係数の連続性が解の連続性にそのまま遺伝すると考えられます。たとえば係数が連続なら、解も連続だし、係数がzに関して正則なら、解も有限個の点をのぞいて正則になるものと思われます。ただ、一般の場合は代数的な解の公式がありません。どうやってこの事実を証明したらよいでしょうか。ヒントでもよいのでご教示いただけたらと思います。おそらく複素解析を使うのがもっとも簡単だとは思うのですが。参考文献をあげていただけるだけでも構わないです。

回答No.2

jlglg · ベストアンサー

複素代数幾何学入門
堀川 穎二 (著)

がいいと思います。
そこでは、もっと一般化していますが、
Weierstrass preparation theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_preparation_theorem

が予備定理として、重要です。

お礼

どうもありがとうございます。参考文献あたってみましたが、代数幾何がさっぱりなので、あまりよくわかりませんでした。証明したい事実はわりと初等的な方法で証明できました。

回答No.1

rabbit_cat

陰関数定理？

お礼

ありがとうございます。微分をxに関するものとすれば、f'(x,z)=0でさえあれば、陰関数定理が使えそうですね。連続性は複素関数論のルーシェの定理を使えば証明できました。あとは重根を持つ点の近傍の議論がうまくいけばよさそうです。