[定理]任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。

質問

宜しくお願い致します。

超準解析での標準部分定理の証明で分かりません。
Rは実数体でR*は超実数体とします。R⊂R*でR*はRの真の順序拡大体になってます。
x∈R*でxが有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<rが成り立つです。
x,y∈R*において,x～yはxとyが無限に近い(0<∀r∈R,|x-y|<r)を意味する記号です。

[定理]任意の有限超実数はちょうど一つの実数に無限に近い。
[証]
一意性の証明は略す。
存在性を示す。
xを有限超実数とする。
X={s∈R;s<x}と置くと,Xは空でなく,上に有界である。実際,或る実数にrに対して|x|<r(∵xは有限超実数),即ち-r<x<rが成り立つから,-rはXに属し,rはXの一つ上界である。そこでXの上限をtとする。任意の正実数rに対し,
x≦t+r。従って,x-t≦r
t-r≦x。従って,-(x-t)≦r
となるからx-t～0即ち,x～t (終)

となっているのですがt∈Rである保証はありませんよね。t∈R*＼Rの場合でないとどうして言い切れるのでしょうか?

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

Rは完備順序体だからRの部分集合Xの上限はRに属する。Xに属するわけではないが。
Rの完備性を仮定しないなら、採用している公理系を補足してください。
参考URLによれば、Rの完備性の代わりに標準部分定理を公理としても同値のようです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90

お礼

有難うございます。
Rは完備順序体でした。
で私が
完備の定義を
「全順序集合(A,≦)に於いて,(A,≦)は「完備である」
⇔(def)
(A⊃B:上に有界⇒∃sup{B,os(A,≦)})∧(A⊃B:下に有界⇒∃inf{B,(A,≦)})=真」

と解釈しておりました。正しくは
「全順序集合(A,≦)に於いて,(A,≦)は「完備である」
⇔(def)
(A⊃B:上に有界⇒∃sup{B,os(A,≦)}∈(A,≦))∧(A⊃B:下に有界⇒∃inf{B,(A,≦)}∈(A,≦))=真」
だったのですね。

それならt∈Rでなければなりませんね。

回答No.1

rinkun

XはRの部分集合だから、その上限もRに属する。

お礼

ご回答有難うございます。

上限の定義は
(i) φ≠A⊂R*,∀a∈A,a∈supA (φは空集合を表す)
(ii) R*∋r<supA,∃a∈A;r<a
ですよね。

> XはRの部分集合だから、その上限もRに属する。

これは最大値の定義ではないでしょうか?
supX∈Xとは必ずしも言えませんよね?
(例:sup{x∈R;x<5}=5だか5は{x∈R;x<5}には含まれない)

私何か勘違いしておりますでしょうか?