線形代数の問題

質問

線形代数の問題なんですがわからなくて困ってます！
次の連立1次方程式が(1)ただ一つの解をもつ(2)無数の解をもつ(3)解をもたない、ようにcの値をそれぞれ定めよ
X＋Y-Z1
2x＋3y＋cz＝3
X＋cy＋3z＝2

なるべく早めにお願いします。

回答No.1

info222_

>X＋Y-Z1
>2x＋3y＋cz＝3
>X＋cy＋3z＝2

変数名を大文字、小文字をまぜこぜにしないで統一する。
第一式に等号が抜け落ちていませんか？

x＋y-z=1　...(A)
2x＋3y＋cz＝3 ...(B)
x＋cy＋3z＝2 ...(C)

(1)ただ一つの解をもつということは、
(A),(B),(C)が解けるということ。
係数行列が逆行列を持つこと。つまり
係数行列式=-(c-2)(c+3)≠0
　c≠2,c≠-3　←（答）
この時連立方程式の解は
　x=1, 1/(c+3), 1/(c+3)

(2)無数の解をもつ
(A),(B),(C)のうち、１次独立でない方程式が存在し、１次独立な方程式が１～２になる場合で、かつ１次独立な２方程式が残っても、両立しない独立な方程式（グラフ的に平行な２平面になる場合）とならない場合である。
つまり、係数行列式=-(c-2)(c+3)=0の場合を調べればよい。
c=2の場合、独立な方程式は2つで
　x+y-z=1
　x+2y+3z=2 → y+4x=1
これを解くと aを任意定数として
　x=5a, y=1-4a, z=a
と無数の解をもつことになる。

c=-3の場合は
　x+y-z=1
　2x+3y-3z=3, x-3y+3z=2→ 3x=5
これを解くと aを任意定数として
　x=5/3, y=a-2/3, z=a
と無数の解を持つことになる。
以上まとめて　c=2, -3 ←　（答）

(3)解をもたない。
この場合は、３つの方程式中、２つ以上の方程式のグラフが平行な平面（重なる場合を除く）となる場合です。
係数行列の行が比例し、拡大行列の３列目要素が比例してない場合なので
このような場合は存在しない。←（答）