- ベストアンサー
線形代数の難問解説｜四つの問題を解きましょう
- 線形代数の問題で関数をf(x,y,z)=(x y z)A(x y z)'+b(x y z)'+cとするときのA,b,cを求めます。
- 行列Aの行列式の値と固有値を求めます。
- 関数fの極値点とその時の関数の値を求め、極値点が最小点、最大点、鞍点のどれになるかを判断します。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
1) A,bとも間違い。 c=0は合っている。 A= [3,0,-1] [0,3,-2] [-1,-2,2] b=[0,0,-2] 2) >行列式が-6、固有値が3,3±√5 1)の正しいAを用いてないので det(A)も固有値も間違い。 1)の正しいAを使って計算をやり直して見てください。 計算すると det(A)=3, 固有値=3,(5±√21)/2 となります。 3) 停留点(極値点)は f_x=f_y=f_z=0を解けば求まります。 f_x=6x-2z=0 f_y=6y-4z=0 f_z=4z-4y-2x-2=0 連立方程式を解いて (x,y,z)=(1,2,3) 停留点(1,2,3)でのfの値はf(1,2,3)=-3 これが極小点(最小点)となることは参考URLのヘッセ行列を使う判定条件で調べることができます。 f(x,y,z)のヘッセ行列を求めると H(f)= [6,0,-2] [0,6,-4] [-2,-4,4] これは対称行列で det(H)=24≠0(非縮退) H(f)の固有値tを求めるとt=6,5+√21,5-√21で全て正定値 したがって停留点(x,y,z)においても H(f)は正定値対称行列であるからf(x,y,z)は(x,y,z)=(1,2,3)で 極小値f(1,2,3)=-3をとります。f(x,y,z)は極小点を1つしか持たず極大点を持たない連続関数なのでf(1,2,3)=-3が最小値となります。 つまり極値点(1,2,3)は最小点となります。 4) (x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1=tと置くと x=2t+1,y=t-1,z=t+3 ...(※) これを f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z=27 に代入してtを求める。 9t^2-6t+24=27 ∴t=1,-1/3 (※)にt=1,-1/3を代入すれば、２つの交点の座標 (3,0,4),(1/3,-4/3,8/3) が求まる。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
No.2です。 ANo.2の補足の質問 >A= >[a,b,c] >[b,e,d] >[c,d,f] >とやればよいのでしょうか？ これならOKですよ。 [x,y,z]* [a,b,c][x] [b,e,d][y] [c,d,f][z] =ax^2+2bxy+2cxz+ey^2+2dyz+fz^2 対称行列Aの要素と多項式の二次の係数の関係を良く見比べてください。 xy,yz,xzの係数は1/2倍して行列Aの要素aij(i≠j)の要素となります。 x^2,y^2,z^2の係数a,e,fは行列Aの要素aij(i=j=1,2,3)の要素となります。
お礼
ご丁寧にありがとうございました。 ほんとうに助かりました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
1) b がなぜそうなるんでしょうか? z はどこから? 2) 行列式と固有値の関係を考えれば「何かがおかしい」ことには気付くはず. 3) 「よくわからない」ってことはだいたいわかってるってことだね. どこまでわかってどこで困ってる? 4) 実はこれは「線形代数」とは直接関係ない (と考えることができる). ただ 2次方程式を解けばいい.
お礼
ありがとうございます。 3)についてはヘッセ行列を使いそうだなというところまでしかわかりませんでした。 次からはもう少し具体的に書くことにします。
お礼
ありがとうございます。 非常にわかりやすかったです。 ですがAの導出方法がまだよくわかりません。 解答を拝見すると、対称行列の設定を A= [a,b,c] [b,a,d] [c,d,a] とやったのがまずかったようですが、 A= [a,b,c] [b,e,d] [c,d,f] とやればよいのでしょうか？