等式の証明

質問

(1)等式（x^2-ny^2）（z^2－nt^2）＝（xz＋nyt）^2-n（xt+yz）^2　を示せ

(2)x^2-2y^2＝-1　の自然数解（ｘ、ｙ）が無限組であることを示し、ｘ＞１００となる解を一組求めよ

という問題を解いています
(1)は左辺＝xz^2-nt^2x^2-ny^2z^2＋n^2t^2y^2　となり右辺も計算したところ同じになりました
これで示したことになるのでしょうか？

(2)なのですが、問題の意味合いがよくわからなく、(1)との関連がよくつかめません。とりあえずn=2を代入してみるとt^2=1というのが出てきました。これは関係ありませんか？

以上2点について教えていただけるとありがたいです
宜しくお願いいたします

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

＞(1)は左辺＝xz^2-nt^2x^2-ny^2z^2＋n^2t^2y^2　となり右辺も計算したところ同じになりました
＞これで示したことになるのでしょうか？

一般に、Ａ＝ＣかつＢ＝Ｃならば、Ａ＝Ｂが成り立ちますので、左辺＝右辺の根拠はそれでＯＫです。

＞(2)なのですが、問題の意味合いがよくわからなく、(1)との関連がよくつかめません。とりあえずn=2を代入してみるとt^2=1というのが出てきました。これは関係ありませんか？

(1)でn=2としたものは、(2)の方程式と同じ項が出てくるのは、「n=2を代入してみると」というのは、大いに関係があります。

ただ、どのように出てくるのか分からない(というか出てこないと思いますが)t^2=1というのは、あまり関係ありません。

とりあえず、ヒント的な事を書いてみますが、分からなければ補足してください。

x^2-2y^2=f(x,y)とします。
(1)でn=2としたものは、f(x,y)f(z,t)=f(xz+2yt,xt+yz)という意味です。
そして、(2)は、f(x,y)=-1の自然数解(の個数)についての問題です。

STEP1 f(z,t)=1となるように、自然数z,tを選ぶ。
STEP2 f(x,y)=-1の自然数解を(何でもいいので)１つ見つける。
STEP3 f(x,y)f(z,t)=f(xz+2yt,xt+yz)とにらめっこして、STEP2とは別の解を見つける。
STEP4 「何か」に気付くまでSTEP3の繰り返し。

回答No.3

kz1975

(1)と(2)の関連ですが、
n=2とし、
x^2-2y^2=-1
z^2-2t^2=1
とすると、
(x^2-2y^2)(z^2-2t^2)=-1
ですが、(1)より
(左辺)=(xz＋2yt)^2-(xt+yz)^2=-1
となりますね。
(x,y,z,t)が自然数であれば、xz+2yt,xt+yzも自然数です。

ということは、、、

ちなみに、
z^2-2t^2=1
となる(z,t)でなるべく大きいものを見つけられれば解くのが楽そうですが、とりあえず、
(x,y,z,t)=(1,1,3,2)
という組み合わせが見つけられました。
その組み合わせから、x>100となる解も求められます。

回答No.1

noname#38655

（1）だけとりあえず、答えます。
等式を求める場合は、（左辺）ー（右辺）＝０であることを言えばＯＫです。
もし不等式なら、（左辺）ー（右辺）＞０であることを求めればＯＫです。【（左辺）＞（右辺）の場合】