微積についてです

質問

∬１から２（左側）と０からｙ（右側）のX∧２＋Y∧２分の１のdxdyの解き方・答えを教えてください

回答No.4

alice_44

被積分関数の式が、よく判らないなあ。
その表現で考えられるものとして…

I = ∫[1→2] ∫[0→y] { 1/(x^2 + y^2) } dx dy
の場合、
　　内側の積分を x = y tan t で置換して
　　∫[0→y] { 1/(x^2 + y^2) } dx
　　= ∫[0→π/4] { 1/((y tan t)^2 + y^2) } (dx/dt) dt
　　= ∫[0→π/4] { (cos t)^2 / y^2 } ( y/(cos t)^2 ) dt
　　= (1/y)∫[0→π/4] dt
　　= π/(4y)
　　より、
I = ∫[1→2] { π/(4y) } dy
= [ (π/4) log y ]_(y=1→2)
= (π/4)(log 2 - log 1)
= (π/4)(log 2).

I = ∫[1→2] ∫[0→y] { x^2 + (1/y^2) } dx dy
の場合、
I = ∫[1→2] { [ (1/3)x^3 + (1/y^2)x ]_(x=0→y) } dy
= ∫[1→2] { (1/3)y^3 + 1/y } dy
= [ (1/12)y^4 + log y ]_(y=1→2)
= (1/12)(16 - 1) + (log 2 - log 1)
= 5/4 + log 2

I = ∫[1→2] ∫[0→y] { x^2 + y^(1/2) } dx dy
の場合、
I = ∫[1→2] { [ (1/3)x^3 + (y^(1/2))x ]_(x=0→y) } dy
= ∫[1→2] { (1/3)y^3 + y^(3/2) } dy
= [ (1/12)y^4 + (2/5)y^(5/2) ]_(y=1→2)
= (1/12)(16 - 1) + (2/5)(4√2 - 1)
= 17/20 + (8/5)√2.

回答No.3

info22_

I=∫[y:1→2]∫[x:0→y] 1/(x^2+y^2)dxdy
なら
積分範囲からy>0なので
x=ytan(yt)とおいて置換積分すると
dx=y^2/(cos(yt))^2=y^2*(1+(x/y)^2)dt=(x^2+y^2)dt
x:0→y のとき t：0→(π/4)/y
より

I=∫[y:1→2] {∫[t:0→(π/4)/y] dt}dy
=∫[1→2] (π/4)/y dy
=(π/4)[log(y)][1→2]
=(π/4){log(2)-log(1)}
=(π/4)log(2)

となります。

回答No.2

sunflower-san

数式を見やすくするため画像を添付しています。参考にどうぞ。

回答No.1

Tacosan

y で 1 から 2, x で 0 から y, 被積分関数は 1/(x^2+y^2) でいい?

もしそうなら, 答えは (π/4)log 2 だって電卓がいってる.