微積の問題です。やり方がわかりません

質問

平面の領域Ｄ＝｛（ｘ、ｙ）；ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＜１｝の面積要素を次のように定める。

ｄＳ＝（ｘ＾a）・（ｙ＾b）・｛（１－ｘ－ｙ）＾c｝ｄｘｄｙ

この面積要素に関するＤの重心の座標を求めよ。ただし、ｄｘｄｙは２次元Ｌebesgue測度、a,b,c,は各々０または正の整数とする。

ｘ＾a＝ｘのa乗

重心の求め方があるのでしょうか？教科書に載ってないので・・・
お願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

教科書に載ってないから、自助努力の解答を書かないで問題の丸投げはマナー違反です。どうせ、質問するなら文字で一般化しすぎないでa,b,cは正整数として質問されては。そうでないと、いかにも問題の丸投げという気がします。宿題かレポートでしょうか？

なので解答することも違反事項（削除対象）になるのでヒントだけ。
重心の座標をG(xg,yg)とすれば
V=∫D dS,M=∫D r dSとおけば重心の位置ベクトルrg=M/V
で与えられます。ここでrは原点からdSのところまでの位置ベクトルです。
X,Y成分で書けば
V=∫[0→1]dx∫[0→1-x](x^a)(x^b){(1-x-y)^c}dy
xg=∫[0→1]xdx∫[0→1-x] (x^a)(x^b){(1-x-y)^c}dy/V
yg=∫[0→1]ydy∫[0→1-y] (x^a)(x^b){(1-x-y)^c}dx/V
後は自力でおやりください。

出来なければ力不足ということであきらめてください。

お礼

ありがとうございました！おかげさまで解くことができました。そうですね。丸投げすぎました。すみません。
重心の定義くらい図書館に行けばすぐ見つかりますね。
∫[0→1]dx∫[0→1-x](x^a)(x^b){(1-x-y)^c}dy
を部分積分で解くのがややこしかったのですが最後うまく階乗の部分が消えたのですっきりした解答になりました。
Xｇ＝(a+1)/a+b+c+3
Yg＝(a+1)/a+b+c+3
ただ、これが正しいのかは不安ですが・・・。

回答No.2

info22

#1です。
お気づきだと思いますが、A#1の積分の中のx^bはy^bの誤植です。
> V=∫[0→1]dx∫[0→1-x](x^a)(y^b){(1-x-y)^c}dy
> xg=∫[0→1]xdx∫[0→1-x] (x^a)(y^b){(1-x-y)^c}dy/V
> yg=∫[0→1]ydy∫[0→1-y] (x^a)(y^b){(1-x-y)^c}dx/V
訂正しておきます。
お礼の補足の中の式は
>∫[0→1]dx∫[0→1-x](x^a)(y^b){(1-x-y)^c}dy
となりますね。

> Xｇ＝(a+1)/(a+b+c+3)
> Yg＝(a+1)/(a+b+c+3)
xgの方は合っています。
ygの方の方は
yg=(b+1)/(a+b+c+3)　
となりますね。

お礼

ｘをｙに置き換えてるのでygが(b+1)/a+b+c+3になることは明らかでした。
丁寧に解説していただき本当にありがとうございます。