D＝｛（x,y）｜0≦x≦1,x≦y≦1｝

質問

D＝｛（x,y）｜0≦x≦1,x≦y≦1｝
∬［D］（e^y）^2dxdy
初歩的な問題なんですがこれ答えは（e/2）－（1/2）であってますか？どなたか頼みます。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>積分範囲がxは0からy、yは0からyにになるのがわからないです。0≦x≦1,x≦y≦1がなんでその積分範囲になるのでしょうか？

重積分する場合は、積分領域をxy座標平面にプロットして確認します。
その積分領域全体をカバーするように積分変数を１つずつ順に変化させていくことで、各変数の積分範囲が決まります。それが逐次積分法です。

今の問題の場合

∫[0,1]{∫[x,1] f(x,y)dy}dx

∫[0,1]{∫[0,y] f(x,y)dx}dy

どちらの順序で逐次積分しても、積分領域全体をカバーできます。
必ず積分領域をプロットして、積分をどの順序で行っているか確認
してください（そうすれば重積分が怖くなくなりますよ）。

なので、どちらでも積分でき同じ積分値が得られます。
しかし、積分のしやすさ（難易度）に差が出ますので、簡単に積分できる方を選んでやります。
したがって、どちらの逐次積分の順序もマスターしておき、より簡単に積分できる方を選ぶことがポイントになります。

お礼

ありがとうございました。完璧に理解できましたー

回答No.2

info22

> D＝｛（x,y）｜0≦x≦1,x≦y≦1｝
> ∬［D］e^（y^2）dxdyです。
であれば
>（e/2）－（1/2）であってますか？
で合っています。

お礼

ありがとです。
実は答えも途中式もわかったんですが積分範囲がxは0からy、yは0からyにになるのがわからないです。0≦x≦1,x≦y≦1がなんでその積分範囲になるのでしょうか？

回答No.1

info22

>答えは（e/2－(1/2）であってますか？
間違っています。

積分を逐次積分法で表わせば
I=∫[0,1] e^(2y){∫[0,y] 1 dx}dy
=∫[0,1] y e^(2y)dy
この↑積分は部分積分で積分できますから自分でやって見てください。
→ (1+e^2)/4

お礼

ごめんなさい。問題書き間違えました。
D＝｛（x,y）｜0≦x≦1,x≦y≦1｝
∬［D］e^（y^2）dxdyです。（）付け間違えです。お願いします。