微積

質問

（１）D＝｛原点を中心とする半径Rの円の上半分｝

∫∫D　x^2 ・y^2ｄｘｄｙ

ってどうやるんですか？？

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1、#3です。

>ここで、z=(sint)^2
>と置いたりしてみたのですが
（解けるという）理由もなく置き換えてもダメです。
この手のsin,cosのべき乗の積分は半角の公式を使ってべき乗をなくすことに尽きます。
>=2/3∫[０～π/２]R^6(sint)^2(cost)^4dt
=(2/3)(R^6)∫[0～π/2] (1/8){1-cos(2t)}{1+cos(2t)}^2dt
=(1/12)(R^6)∫[0～π/2] {1-(cos(2t))^2}{1+cos(2t)}dt
=(1/12)(R^6)∫[0～π/2] {sin(2t)}^2*{1+cos(2t)}dt
=(1/12)(R^6)∫[0～π/2] (1/2){1-cos(4t)}*{1+cos(2t)}dt
=(1/24)(R^6)∫[0～π/2] {1-cos(4t)+cos(2t)-cos(4t)cos(2t)}dt
積和公式を適用
=(1/24)(R^6)*
∫[0～π/2] [1-cos(4t)+cos(2t)-(1/2){cos(6t)+cos(2t)}]dt
= ...
ここまで変形すれば、この↑先は積分出来るでしょう。

回答No.3

info22

#1です。
>習っていないので、よくわからないのですが…。
ヤコビアンを使わなければ直交座標から極座標への変数変換はできません。
ヤコビアンを使う方法は重積分で必須の積分法であり、かつ積分を簡単に行えるように出来るので、どの積分のどの教科書や参考書でも重積分の所に載っています。なので習っていなくても予習してヤコビアンを使って極座標に変換して積分する。ヤコビアンは単に面積素を変換する係数に過ぎませんので
dxdy=(rdθ)drと面積素を置き換えればいいですね。

でも、どうしても極座標へ変数変換しないのなら、積分が多少難しくなりますが、直交座標のまま、逐次積分法を適用して、積分を2段階に行うしかないですね。

I=∫[-R,R] (x^2) {∫[0,√(R~2-x^2)] (y^2)dy}dx
=2∫[0,R] (x^2) (1/3){√(R~2-x^2)}^3}dx
=(2/3)∫[0,R] (x^2){(R~2-x^2)^(3/2)}dx
これで1変数の定積分になったので質問者さんの習った積分法で
積分出来るでしょう。

x=R*sin(t), x:[0,R]→t:[0,π/2] の変数変換して
積分してみてください。

質問があれば、計算過程を補足に書いて、行き詰っている分からない点をきいて下さい。

補足

行き詰ってしまいました…。
本当に申し訳ないです。

2∫[0～R]x^2dx∫[０～√（R＾２－ｘ＾２）]ｙ＾２ｄｙ
＝２∫[０～R]ｘ＾２ｄｘ[１/３＊ｙ＾３][０～√（R＾２－ｘ＾２）]
＝２/3∫[０～R]ｘ＾２（R^2-ｘ＾２）＾(3/2)dx-(1)
ここで、ｘ＝Rsintとおくと
ｄｘ＝Rcostdt
ｘ： 0→R　　　ｔ：０→π/２

(1)＝２/3∫[０～π/２]R^2(sint)^2*{R^2-R^2*(sint)^2}^(3/2)Rcostdt
=2/3∫[０～π/２]R^6(sint)^2(cost)^4dt

ここで、z=(sint)^2
と置いたりしてみたのですが、上手く∫できませんでした。
どうやるか教えてください。
お願いします。

回答No.2

Tacosan

x と y の関係から「逐次積分する」形の式に変形する. もっというと, 領域D を「A ≦ x ≦ B かつ f(x) ≦ y ≦ g(x)」という形で書いて y で積分→x で積分と逐次積分するだけ.
さすがにこれくらいはやってるはずだ.

回答No.1

info22

>∬D　(x^2)(y^2)dxdy
=Iとおく。
x=r*cos(t),y=r*sin(t)とおくと
dxdy=|J|drdt, ヤコビアン|J|=r　なので
I=∫[0,R] (r^4) rdr {∫[0,π] {cos(t)sin(t)}^2 dt
=∫[0,R] (r^5) dr {(1/4)∫[0,π] {sin(2t)}^2 dt
=(1/4){∫[0,R] (r^5)dr}*∫[0,π] {1-cos(4t)} dt
この↑積分なら簡単なので自分でやってみてください。

補足

ヤコビアンていうのくを使わないとどうなるんですか？？
習っていないので、よくわからないのですが…。