数学、微積についてです。

質問

次の２変数関数のグラフの与えられた点での接平面を求めよ。
（1）z=f(x,y)=x^2-y^2,点(x,y)=(2,1)
答え　z=4x-2y-3

(2)z=f(x,y)=x^2-3xy+y^2+2x-5y,点(x,y)=(-2,3)
答え　z=-11x+7y-31

なのですが、2つとも計算しなおしても最後の数字（-3,-31)の部分が少しずれちゃいます。

なので計算の過程とか詳しく教えていただけませんか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(x,y)=(a,b)付近のf(x,y)は次の式で近似される．

f(x,y)=f(a,b)+(∂f(a,b)/∂x)(x-a)+(∂f(a,b)/∂y)(y-b)

f(x,y)をzに置き換えれば接平面の方程式が得られます．

z=f(a,b)+(∂f(a,b)/∂x)(x-a)+(∂f(a,b)/∂y)(y-b)

(1)
∂z/∂x=2x=4
∂z/∂y=-2y=-2

∴z=3+4(x-2)+(-2)(y-1)=4x-2y-6，z=4x-2y-3

(2)
∂z/∂x=2x-3y+2=-4-9+2=-11
∂z/∂y=-3x+2y-5=6+6-5=7

∴z=12-11(x+2)+7(y-3)=-11x+7y-31

思うにf(a,b)の項を忘れてませんか．

お礼

その通りでした！
ありがとうございます！

回答No.2

yyssaa

（1）z=f(x,y)=x^2-y^2,点(x,y)=(2,1)
＞全微分係数を求める。
∂z/∂x=2x、x=2で∂z/∂x=4
∂z/∂y=-2y、y=1で∂z/∂y=-2
全微分係数をc1、c2とすると、点(a,b)におけるz=f(x,y)の
接平面はz=f(a,b)+c1(x-a)+c2(y-b)。
代入してz=2^2-1^2+4(x-2)-2(y-1)=4-1+4x-8-2y+2
=4x-2y-3
(2)z=f(x,y)=x^2-3xy+y^2+2x-5y,点(x,y)=(-2,3)
＞同様に
∂z/∂x=2x-3y+2、x=-2,y=3で∂z/∂x=-4-9+2=-11
∂z/∂y=-3x+2y-5、x=-2,y=3で∂z/∂y=6+6-5=7
代入してz=(-2)^2-3*(-2)*3+3^2+2*(-2)-5*3-11(x+2)+7(y-3)
=4+18+9-4-15-11x-22+7y-21=-11x+7y-31

お礼

回答ありがとうございます！