重積分について。

質問

自分で解いてみたのですが
正解してる自信がありません。
よろしければ回答お願いできないでしょうか。

1 ∬D x/x^2+y^2 dxdy D={(x,y)∈R^2| 0≦y≦x≦1}

2 ∬D |x|dxdy D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1}

3 ∬D |x+y|dxdy D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1}

1 ∫[0,1]dy*[1/2log(x^2+y^2)][y,1]
=(1/2)∫[0,1]log(1+y^2/2y^2)dy
部分積分をして　答えはπ/4

2 極座標変換をする。
0≦θ≦2π　0≦r≦1にうつる　ヤコビアンr
0≦r≦1より、　∫[0,1]r^2dr*∫[0,2π]|cosθ|ｄθ

ここでcosθの場合分け。
僕は{[0,π/2]+[3/2π,2π]}*2で求めました。　答えは4/3

3 同じく極座標変換して,rを外に出す
√2sin(θ+π/4)に書き換えて0から2πのグラフを書く。

場合分けは
0≦θ≦3/4π　3/4π≦θ≦7/4π　7/4π≦θ≦2π　に分けて計算する
答えは4/3√2 でしょうか。

何か間違い等ございましたらご指摘お願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

1
>∬D x/x^2+y^2 dxdy D={(x,y)∈R^2| 0≦y≦x≦1}

> ∫[0,1]dy*[1/2log(x^2+y^2)][y,1]
ここで間違い。
これはDの領域の積分になっていません。
E={(x,y)∈R^2| 0≦x≦y≦1}での積分をしてますね。
正しい式は↓
∫[0,1]dy*[(1/2)log(x^2+y^2)][0,y]
=(1/2)∫[0,1]log2 dy
=(1/2)log2

従って↓は×
>=(1/2)∫[0,1]log(1+y^2/2y^2)dy
>部分積分をして　答えはπ/4

2
∬D |x|dxdy D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1}

>極座標変換をする。
>0≦θ≦2π　0≦r≦1にうつる　ヤコビアンr
>0≦r≦1より、
>　∫[0,1]r^2dr*∫[0,2π]|cosθ|ｄθ
>ここでcosθの場合分け。
>僕は{[0,π/2]+[3/2π,2π]}*2で求めました。　答えは4/3

合っていますが、極座標変換する前に、Dと被積分関数|x|が偶関数であることを使って
I=4∬E xdxdy E={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1,x≧0,y≧0}
としてから極座標変換して積分した方がスッキリします。

3
∬D |x+y|dxdy D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1}

>同じく極座標変換して,rを外に出す
>√2sin(θ+π/4)に書き換えて0から2πのグラフを書く。

>場合分けは
>0≦θ≦3/4π,　3/4π≦θ≦7/4π,　7/4π≦θ≦2π　に分けて計算する
>答えは(4/3)√2 でしょうか。
合ってます。

D=D1+D2、
D1={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1,x+y≧0}
D2={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1,x+y＜0}
と領域Dを２つに分割して、２つの積分の和として積分すれば、スッキリ計算できるかと思います。

補足

回答ありがとうございます。

E={(x,y)∈R^2| 0≦x≦y≦1}
１についてですが、この積分区間で
積分してますでしょうか？
自分としてはちゃんとDの積分領域を書いているつもりなのですが。。。

すみません、詳しく回答お願いできますか？

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の1について

１のDに対する逐次積分の積分範囲を僕の方が早とちりしてミスしてました。
御免。

１は質問者さんの解答で合ってました。
なのでA#1の１番の回答の逐次積分では、Dの積分領域のものではありませんので
１の回答の箇所は削除し、質問者さんの解答で差し替えて下さい。

お粗末様でした。

#2さん、指摘ありがとう。

回答No.2

alice_44

1.
xy平面の図を書いてみれば解るが、
積分領域は、質問者のほうが正しい。
計算の答えも合っている。
dy の y→+0 の端が広義積分になる部分の処理を
どうやったかは、見せてほしい所だけれど。