二階線型微分方程式

質問

mx(t)''+cx(t)'+kx(t)=Fcosωt
の解き方を教えてください
mx(t)''+cx(t)'+kx(t)=0なら
特性解をそれぞれr、s(r＞s)とすれば
x(t)=c1e^rt + c2e^stと分かるのですが

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

最初から係数の全てに文字定数を使って丸投げしないこと。

それでいて
m≠0を明示せず、勝手にr>sとしてみたりする。
r>sと言った不等式は実数しか成り立たないことです。
特性方程式が２次式でかつ、異なる2実解をもつとしていいのかな？
そうなら、m≠0,c^2-4mk＞0,F≠0 ...(※)
と微分方程式のところで係数条件として明示すべきです。

(※)の条件があるとして
x(t)=c1e^rt + c2e^st　（r>s）...(▲)
は斉次（同次）方程式
mx(t)''+cx(t)'+kx(t)=0
の一般解となることは正しい。

mx(t)''+cx(t)'+kx(t)=Fcos(ωt)　,,,(◆)
の特解x(t)は
x(t)=acos(ωt)+bsin(ωt)...(★)とおいて(◆)に代入して
sin(ωt),cos(ωt)のそlれぞれの係数が等しいとおいて
a,bについての連立方程式ができる。
それを解いてa,bを決めてやればOKです。
(★)に代入すれば特解が求まる。

この特解と(▲)を加えたのが(◆)の一般解になります。

お礼

すみません
ありがとうございました