微分方程式の解について

質問

微分方程式　mx"＋kx-bsinωt＝0　の解の求め方がわからなくて困っています。
　m, k, bは定数で、 ω=k/mです。
　丸投げでもうしわけありませんがお願い致します。

回答No.3

Willyt

ω^2=k/m じゃないとディメンジョンが合いません。しかしこれは固有振動数で揺らすことになりますから、振動が発散してしまいます。つまり解が不定になってしまいます。ですから私はこの部分を無視したのです。問題は任意の振動数ωで振動させるというモデルの筈です。＃２の方の解だと特解が同次解と同じになっていますから、これは不可です。つまり特解は同次解とは別のものを見つけなければならないのです。でもないんですよね(^_-)

お礼

ですよね～。まちがえてました・・・すみません

回答No.2

info22_

>ω=k/mです。
これは「ω^2=k/m」の間違いでは無いですか？

そうなら
>mx"＋kx-bsinωt＝0
ω^2=k/m　なので
m≠0と考えられるので、単なる非同次（非斉次）２階線形微分方程式に過ぎません。

(k/ω^2)x"＋kx＝bsinωt

k,ω≠0と考えられるから

x"＋ω^2x＝(bω^2/k)sinωt

同次方程式
x"＋ω^2 x＝0 …(1)
の一般解
と
x"＋ω^2 x＝(bω^2/k)sinωt …(2)
の特殊解を求めて加えれば

x"＋ω^2 x＝(bω/k)sinωt
の解になります。

(1)の一般解は
x1=c1sinωt+c2cosωt (c1,c2は任意定数)

(2)の特殊解は
x2=-(b/(2k))tcos(ωt)

∴x=x1+x2=c1sinωt+c2cosωt-(b/(2k))tcos(ωt)

お礼

回答ありがとうございました。
まちがえてましたね、すいませんでした。

回答No.1

Willyt

まず、mx"+kx=0 を解きます。これは簡単に解けますよね。その後mx"＋kx-bsinωt＝0を満たす特解を視察で求めます。

その解を x=Asinωt と置き、これを原式に代入すると　(-mω^2+k)A=b となりますから A=b/(mω-k) となり、これが特解を与えることになります。そうすると解は最初に求めた同次解をf(t) g(t) とすることにより

x=C1・f(t)+C2・g(t)+b/(mω-k)・sinωt となります。但し C1,C2は積分定数です。

お礼

回答ありがとうございます。
参考にさせてもらいます。