微分方程式についてわからないことが・・・

質問

今
y'=-1/xy

の微分方程式をときました。
∫y dy=∫-x dx
1/2×ｙ＾２＝－log|x|+C
=-log{Cx{

e^(1/2×y^2)=-|Cx|
=Cx

これを微分方程式の解とします。

これを微分して与式になることを確認したいのですが

答えの両辺をｘで微分して
ye^(1/2×y^2)×y'=C

両辺にｘかけて
xyy'e(1/2×y^2)＝Cx
　　　　　　　　　　＝e^(1/2×y^2)

よってy'=1/xy

となり－がでてきません。
計算途中でC=±Cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して－をつけてもいいのでしょうか？

どのように解答をかいていけばいいのでしょうか？
わかるかたお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

y'=-1/(xy)

y'y = -1/x

y^2/2 = -log|x| + C

e^(y^2/2) = e^C/|x|

です．eの指数にするときに，
指数のマイナスの処理を間違ってます，

このとき
両辺をxで微分すると

左辺の微分 = y' y e^(y^2/2)

x>0 のとき
右辺の微分 = -e^C/x^2 = e^C/x (-1/x) = e^C/|x| (-1/x)
= e^(y^2/2) (-1/x)

よって，yy' e^(y^2/2) = (-1/x) e^(y^2/2)
yy' = -1/x

x<0のとき
右辺の微分 = e^C/x^2 = e^C/x (1/x)
= -e^C/|x| (1/x)
= e^C/|x| (-1/x)
= e^(y^2/2) (-1/x)

よって y' y e^(y^2/2) = e^(y^2/2) (-1/x)
yy'=-1/x