１階線形微分方程式

質問

xy'-(1+x)y=x^2を解けという問題です。
y'-{(1+x)/x}y=x
P=-{(1+x)/x}, Q=xとして
∫-{(1+x)/x}dx=-x-loglxl+c'
∫e^(-loglxl-x+c')x dx=±e^(c')∫x^2e(^x) dx
ここから、どうすすめばいいのでしょうか。
この微分方程式の一般解は、y=x(Ce^x-1)なのですがどうやったらここまできれいになるのでしょうか。その導き方を教えてください。
お願いします。

回答No.3

noname#154783 · ベストアンサー

> 教科書に
> 「1階線形微分方程式 y'+P(x)y=Q(x)の一般解は、
> y = e -∫P(x)dx { ∫Q(x) e ∫P(x)dx dx + c }
> で与えられる。なお、cは任意定数である。」
> と書いてあったのですが、これを使った解法も教えていただけないでしょうか。

eの肩にでっかい積分が乗っかってるのは見にくいので，
e^x
を，場合によっては
exp(x)
と表すことにします．

そうすると，教科書に載ってる式は

y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)exp(∫P(x)dx) + c}

と表せます．

今の場合，元の微分方程式 xy' - (1+x)y = x^2 は
y'+P(x)y=Q(x)という形をしていないので，
両辺をxで割り算して，

y' - (1 + 1/x)y = x

とすると，
P(x) = -1 - 1/x,
Q(x) = x
です．

∫P(x)dx = ∫(-1 - 1/x)dx = -x - log|x|,
exp(∫P(x)dx) = exp(-x - log|x|) = exp(-x)/|x|,
exp(-∫P(x)dx) = exp(x + log|x|) = |x|e^x,

∫Q(x)exp(∫P(x)dx)
= ∫x exp(-x)/|x| dx
= ∫sgn(x)exp(-x)dx
= -sgn(x)exp(-x).

ただし sgn(x) はxの符号を表す
sgn(x) =
{ +1 (x>0)
{ 0 (x=0)
{ -1 (x<0)

∴y
= exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)exp(∫P(x)dx) + c}
= |x|e^x {-sgn(x)exp(-x) + c}
= |x|(-sgn(x) + c e^x)
= (Ce^x - 1)x.

ただし
C = c/sgn(x) = sgn(x) c.
(要するに C = ±c.)

符号の処理が面倒ですね．

なお，公式 y = exp(-∫P(x)dx){∫Q(x)exp(∫P(x)dx) + c} は
ラグランジュの定数変化法で導出できますので，
このやり方も本質的にはANo.2と同じです．

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。

補足

＞exp(∫P(x)dx) = exp(-x - log|x|) = exp(-x)/|x|,
＞exp(-∫P(x)dx) = exp(x + log|x|) = |x|e^x,
exp(-x - log|x|)からexp(-x)/|x|、exp(x + log|x|)から|x|e^x
の導き方を教えていただけませんでしょうか。
お手を煩わしてしまってすいません。

回答No.4

noname#154783

まず，
∫P(x)dx = ∫(-1 - 1/x)dx = -x - log|x|
は公式を使って求めるだけです．

で，exp(∫P(x)dx)ですが，上の結果を代入すると，
exp(-x - log|x|)
= exp(-x) exp(-log|x|) (指数法則)
= exp(-x) exp(log|x|)^(-1) (指数法則)
= exp(-x)/exp(log|x|).

さらに，expとlogとは互いに逆関数の関係なので，
exp(log|x|) = |x|.

以上より
exp(-x - log|x|) = exp(-x)/exp(log|x|) = exp(-x)/|x|.

exp(-∫P(x)dx)は同じように∫P(x)dxの結果を代入して
exp(x + log|x|)を指数法則でバラしていくっていうのもアリですが，

exp(-∫P(x)dx) = exp(∫P(x)dx)^(-1) = 1/exp(∫P(x)dx)

なので，exp(∫P(x)dx)の逆数として求めればよい：

exp(-∫P(x)dx)
= 1/exp(∫P(x)dx)
= 1/{exp(-x)/|x|}
= |x|/exp(-x)
= |x| e^x (∵exp(-x) = 1/exp(x) = 1/e^x).

あと，ANo.2のsgn(x)は
sgn(x) = x/|x|
です．

お礼

ありがとうございます。
ようやく答えに辿りつくことができ、うれしい限りです。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#154783

微分方程式で
yとかy'とかに関する項をすべて左辺に移項し，
yとかy'とかに関係ない項をすべて右辺に移項した時，
右辺が0になるようなものを斉次微分方程式
右辺が0でないようなものを非斉次微分方程式といいます．

非斉次の線形微分方程式の一般解は，
「非斉次の線形微分方程式の解の1つ(特殊解)
右辺を0とした方程式の一般解(基本解)との和」として表されます．

そこでまず，基本解を求めます．
xy' - (1+x)y = 0
を解けばよいのですが，これは変数分離できて，
∫dy/y = ∫(1/x + 1)dx
log|y| = log|x| + x + c (cは積分定数)
|y| = e^(log|x| + x + c) = e^c |x|e^x
y = ±e^c x e^x = C x e^x (C = ±e^c).

次に特殊解を求めるのですが，
「基本解の任意定数Cを関数f(x)と置き換えたものが特殊解である」
と仮定して，このf(x)を求めるという方針をとります
(これをラグランジュの定数変化法といいます)．

そこで特殊解を
y = f(x) x e^x
と置いて，元の非斉次方程式に代入して整理すると
f'(x) = e^(-x)
となりますから，
f(x) = ∫e^(-x) dx = -e^(-x).
(特殊解は1つ求まればよいので，積分定数を0とした．)
特殊解は
y = f(x) x e^x = -x.

以上より，元の方程式の解は
y = (特殊解) + (基本解)
= -x + C x e^x
= x(Ce^x - 1).

お礼

ありがとうございます。
とても助かりました。

補足

１つ補足させてください。
教科書に
「1階線形微分方程式 y'+P(x)y=Q(x)の一般解は、
y = e -∫P(x)dx { ∫Q(x) e ∫P(x)dx dx + c }
で与えられる。なお、cは任意定数である。」
と書いてあったのですが、これを使った解法も教えていただけないでしょうか。
お願いいたします。

回答No.1

Tacosan

e(^x) が e^x のことならふつうは部分積分.
それでうまくいくかどうかは知らんけど.

お礼

ありがとうございます。