二階の微分方程式について教えてください。

質問

(d^2x)/(dt^2)+(a+b)dx/dt+(c+d)x=e
という問題の特解がわかりません。
a,b,c,d,eは全て定数です。
微分作用素を使ってやろうとしてのですが、教科書とかには右辺がe^t(指数関数)や、三角関数のやりかたしか載ってなくて。。
どのようなやりかたでもイイので教えてください。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

微分作用素を使って特解を求めるなら
[D^2 + (a+b)D + (c+d)]x = e
から
x = [D^2 + (a+b)D + (c+d)]^-1 e
= [1 - (a+b)D/(c+d) + ...] [e/(c+d)]
とするんだけど, e/(c+d) が定数だから D が 1次でも入れば自動的に 0 になります. つまり右辺の微分作用素は単なる「1」と同じになり, したがって
x = e/(c+d)
が特解. n次多項式では D^(n+1) より高次の項は (微分した結果 0 になるので) 無視できます.

補足

そうゆうことですか☆
ありがとうございます。
しかし、
x = [D^2 + (a+b)D + (c+d)]^-1 e
= [1 - (a+b)D/(c+d) + ...] [e/(c+d)]
この２行目はどのように変換したのでしょうか・・？

回答No.1

info22

>特解
x=e/(c+d)
で良いでしょうね。