同次形の微分方程式ついて（「解析学序説(上)」 ）
よろしくお願いいたします。
【記号の説明】
定数 c については、c^(-λ) は「c のマイナスλ乗」を、
変数 x、y, u については
１ y^(n)などは y のn階微分を、
２ x^《n》はxのｎ乗を、
それぞれ、あらわします。
同書からの引用部分は『・・・』で示してあります。
「容易に階数降下のできる高階常微分方程式」という節の中に「同次形（の常微分方程式)」の項目があります。
『（λを定数として）、 x,y について同次形
(*) c^(-λ)F(cx,cy,y',c^(-1)y",...,c^(1-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) のときは、c=1/x とおけば、
(**） f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))=0
の形になる。そこで、ｙ=xu とおくと、y'=xu'+u, y"=xu"+2u',...,一般にライプニッツの公式で y^(k)=xu^(k)+ku^(k-1) で、ゆえに、x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)となり、ｘ についての同次形、すなわち(***)の場合（下記）に帰着された。』
x^《k-1》y^(k)=・・・までは分かるのですが、それから直ちにｘ についての同次形と結論できるのが、どうしても分かりません。(**)の左辺に、y, y', y", x^《k-1》y^(k), の右辺や、x=1/c を代入して、なんとか(***)が成立することを示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。
なお、ｘ についての同次形というのは
（***）c^(-λ)F(cx,y,c^(-1)y',...,c^(-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) が成り立つことを言います。
どうぞよろしくお願いいたします。
補足
(1+x^2)(c"x+2c')-2x(c'x+c)+2cx =c"x+2c'+c"x^3+2c'x^2-2c'x^2-2cx+2cx =c"x+2c'+c"x^3 =x(1+x^2)c"+2c' となると思うのですが・・・ もし(x+x^2)c"+2c'=(1-x^2)/xであるならば 同次形を考えて (x+x^2)c"+2c'=0 (x+x^2)c"=-2c' (1/c')c"=-2/(x+x^2) c'=uと置くと -(1/u)u'=2/(x+x^2) 両辺積分して -log|u|=∫2{1/x(1+x)}dx -log|u|=2∫{(1/x)-1/(1+x)}dx -log|u|=2{log|x|-log|1+x|}+C1 となり計算が楽になって助かるのですが。