- ベストアンサー
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余りを求める方法
- x^n-1を(x-1)^2で割った時の余りを求める方法について解説します。
- この問題では、x^n-1を(x-1)^2で割った時の商をQ(x)、余りをsx+tとおくと、x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+tという式が得られます。
- さらに、x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+…+1)であることを利用して、t=-sという関係式が成り立つことがわかります。
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
> t=-sはx=1の時だけ成り立つのでは？ 結論から述べると、“x=1 のときだけ”というのは誤りです。 （x=1 のときを含めて、）全てのxにおいてt=-sが成り立ちます。 なぜかというと、 x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1) は、左辺と右辺が同じ式であるように s と t を求めようとしています。 だから、“恒等式”を調べていることになります。 s と t ってなんだろう？よくわからないけど、 恒等式なんだから、少なくとも x=1 のときは成り立つはずだ! つまり、x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1) は、 （ s や t や Q(x) はよくわかっていないけど、x=1 を代入する操作をすると） 0=s+t を満たす性質を持っている! ということがわかったわけです。 ☆恒等式を解いているということがポイントです 参考になれば幸いです（・へ・）
その他の回答 (3)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
普通は、そんなことせずに、 x^n-1 に y=x-1 を変形代入して、 y の式として整理するんですが… それはともかく、御質問の点については、 A No.1 に既に書かれてあるように、 (1) が全ての x で成立するためには x=1 のときも成立していないといけない ということです。 それが成り立たない s,t は解にならないので、 そこから先は、0=s+t である s,t の中から 更に候補を絞ってゆけばよい。 候補を絞るために、0=s+t のとき何が言えるか を考えます。そのために、t=-s を代入して 式を変形しているのです。
お礼
ありがとうございます。 恒等式だから、x=1のときに成り立たなければいけない、つまり、s+t=0が成り立たなければならない・・・ということですね。 まずs+t=0が確認できたので、そこから絞っていくという意味もやっと理解できました。
普通はいきなり x^n-1=(x-1)^2・Q(x)+s(x-1) とおいて、両辺を微分して n・x^(n-1)=2(x-1)・Q(x)+(x-1)^2・Q'(x)+s にx=1を代入します。 数IIIの「積の微分」を使えるという前提ですけど。
お礼
ありがとうございます。 数IIIはやっていないですね・・・。 やる時がきたらまた考えてみます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
最低限 x=1 で成り立たないと恒等式にならないでしょ?
お礼
ありがとうございます。 皆様の言っていることがよく理解できず、少し考えていたのですが、やっと分かりました。
お礼
ありがとうございます。 xの値によってs,tを別個に考えることにしてしまうと話が進みませんね・・・。 0=s+tを満たす性質を持っているという文章が分かりやすかったです。 そこから広げていこうということですね。