Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2...

質問

Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2n) /n! …(1)
ってどういう風に考えたら
e^x(x-1)^2とおけるのでしょうか？
テーラー展開の考え方を使うというのはわかるのですが
e^x(x-1)^2ってテーラー展開したら
Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2n) /n!　なりますか？

テーラー展開は最近知ったばかりでよくわかりませんが、
f(x)=f(a)+f'(a)x/1!+f''(a)(x^2)/2!+f'''(a)(x^3)/3!+...　…(2)
という式はしってます。　（証明とかはわかりませんが、基本的なsinxとかのテーラー展開はできます）

よくわからないのが、(1)式だと、分母がn!のときに分子のxが3n乗になってしまうのがよくわかりません。(2)式のとおり行く分母がn!のときに分子のxがn乗以外にはならない気がするのですが。。。
それともこれはF(x(x-1))=e^x(x-1)^2としてΣ{n=0~∞} ((x(x-1)^2)^n) /n!と考えるのでしょうか？

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2,#3です。

A#3の補足の質問の回答

>収束半径と収束条件はまったく別の話をしているわけではなく、上限一点のみか、範囲かの違いですか？

その通りです。
参考URLの定理11にもあるように
収束半径をrとすると、収束条件(絶対収束)は
マクローリン展開（x=0の周りのテーラー展開、つまりxのべき乗和による展開）では
　|x|＜r (即ち　-r＜x＜r　)
となります。

参考URL：

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node7.html

お礼

回答ありがとうございました

回答No.3

info22_

#2です。

>収束条件とは収束半径のことでしょうか？
>収束という概念をいまいちはっきり理解していないもので。。。

違います。
テイラー展開の無限和が有限値に収束するための展開項の絶対値の上限が収束半径です。
収束半径未満の展開項の絶対値の範囲が収束条件です。収束条件下ではテイラー展開が一定の有限な値に収束するということです。

お礼

回答ありがとうございます。
収束半径と収束条件はまったく別の話をしているわけではなく、上限一点のみか、範囲かの違いですか？

回答No.2

info22_

A#1の補足の疑問について

>ではf(x)=f(a)+f'(a)x/1!+f''(a)(x^2)/2!+f'''(a)(x^3)/3!+
のｘは多項式もはいっちゃうんですね？

無条件に入るのではなく、「xの収束条件の範囲内」がxの多項式のxにも引き継がれます。
e^xの実数xについて収束条件は全ての実数xなので、e^{x(x-1)^2}のマクローリン展開では
e^xのマクローリン展開の中のxの代わりに多項式x(x-1)^2を代入しても問題ありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラー展開

お礼

収束条件とは収束半径のことでしょうか？
収束という概念をいまいちはっきり理解していないもので。。。

回答No.1

muturajcp

X=x(x-1)^2
e^X=Σ{n=0~∞}(X^n)/n!
↓
e^{x(x-1)^2}
=Σ{n=0~∞}({x(x-1)^2}^n) /n!
=Σ{n=0~∞}(x^n)((x-1)^{2n}) /n!

お礼

ではf(x)=f(a)+f'(a)x/1!+f''(a)(x^2)/2!+f'''(a)(x^3)/3!+
のｘは多項式もはいっちゃうんですね？