恒等式について

質問

ｘについての恒等式といえば、ｘにどんな値を代入しても成り立つ等式ですよね。

そのｘについての恒等式なのですが、
左辺と右辺を比べた時に、同じ式になるものしか恒等式であると捉えることができていません。
例えば、ｘ（ｘ＋１）＝ｘ＾２＋ｘのように、左辺を展開すれば、すぐに恒等式だとわかります。

しかし、ｘにどんな値を代入しても成り立つ等式といっているだけで、両辺が同じ式になるものを恒等式とは言っていません。
ということは、例えば、ｘ＝ｘ＾２＋３のようなものでも恒等式となるのでしょうか？

両辺がことなるもので恒等式となる等式があれば教えてください！
回答よろしくお願いします。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

定義の問題かもしれませんが
sin^2x+cos^2x=1
とか、そうではありませんか？

回答No.5

ramayana

多分、高校までの範囲では、「式が違うけど恒等式である」というケースは出てこないと思います。しかし、もう少し進むと、そういうことも起こります。

例えば、0と1だけの世界で、次のように足し算、掛け算を決めます。

0+0 = 0
0+1 = 1
1+0 = 1
1+1 = 0
0×0 = 0
0×1 = 0
1×0 = 0
1×1 = 1

この世界では、x+1と、x^2+1とは、違う多項式です。しかし、

x+1 = x^2+1

は、恒等式です（xが0でも1でも同じ値になる）。

回答No.4

alice_44

そもそも、x(x+1) と xx+x は、
x にどんな値を代入しても同じ値になる式だ
というだけで、字面は同じ式ではありません。
一文字づつ見比べて確認してみてください。

exp(ix) = cos(x) + i sin(x) なんかだと
両辺が派手に違うような気もするけれど、
式としては異なるが、代入すれば値は同じだ
という意味では、代数式の変形と全く同じこと
なんですよ。

回答No.3

VEDONIC

例えばxについての恒等式であるときx=x+aを解けという問題があったとします。これはaが0の時しか成り立ちませんよね(x=x+0。よってx=x)。
故に質問者さまの、x=x^2+3についてですが、xにどんな値を代入しても成り立たないので恒等式とは呼べません。また、x=x+3でも恒等式ではありません。x=xとなるとき、はじめて恒等式と呼べるのです。

回答No.1

bgm38489

恒等式とは、おっしゃる通りXにどんな値を代入しても成り立つ式ですから、展開・因数分解の式が代表です。
(X+Y)^2=X^2+2XY+Y^2
しかし、x=x^2+3では、例えば、ｘに１を代入したとき成り立つでしょうか？左辺は１、右辺は４ですから成り立ちませんね。

このほか、この式がxについて恒等式であるとき～という使い方もします。

ax^2+bx+c=0がxについて恒等式であるとき、a=b=c=0