余りの求め方

質問

ｆ(x)は整式で、(x－2)で割った余りは3，(x＋2)^2で割った余りは－xである。
ｆ(x)を｛(x＋2)^2｝(x－2)で割った余りを求めたいのですが、

ｆ(2)＝3
ｆ(－2)＝－x＝2
である。また、商をＱ(x)とすると、実数s,t,uを用いて
ｆ(x)＝｛(x＋2)^2｝(x－2)Ｑ(x)＋sx^2＋tx＋u
て表せる。よって、
ｆ(2)＝3＝4s＋2t＋u
ｆ(－2)＝2＝4s－2t＋u
となるところまで導いたところで行き詰まってしまいました。
２つしか式を立てられなかったので、この連立方程式は解けませんよね？
ここからどうすれば良いのでしょうか？よろしくお願いします。

あと気になったのですが、正しい解答方法とは全然関係ないと思うのですが、
ここで(x＋2)^2を複素数の範囲で因数分解して３つ連立して式を作っても、最終的には解けるのでしょうか？

回答No.4

tarame · ベストアンサー

まず「(x＋2)^2で割った余りは－xである」ことから
ｆ(x)＝(x＋2)^2Ｐ(x)－x とおく。
ここで、Ｐ(x)＝(x－2)Ｑ(x)＋ａとすると
ｆ(x)＝(x＋2)^2(x－2)Ｑ(x)＋ａ(x+2)^2－x　…(1)
次に「(x－2)で割った余りは３である」ことから
ｆ(2)＝3 より 16ａ－2＝3
ａ＝5/16 となる
(1)に代入すると、余りが求まる。

この問題は、剰余の定理で解こうとしても、情報（条件）が足りなくて、困ってしまいますね。
「(x＋2)^2で割った余りは－xである」の扱い方がポイントとなります。

お礼

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

eatern27

#2さんの解き方が分かりやすいかと思いますが、一応別の解き方を。

f(x)は(x+2)^2で割ると-x余るので,f(x)=(x+2)^2P(x)-x
と表せます。この両辺をｘで微分すると

f'(x)=2(x+2)P(x)+(x+2)^2*P'(x)-1
となりますが、ここから
f'(-2)=-1
であることが分かります。なので、
＞ｆ(x)＝｛(x＋2)^2｝(x－2)Ｑ(x)＋sx^2＋tx＋u
をxで微分して-2を代入したもの＝-1
という式を立てれば、
ｆ(2)＝3、ｆ(－2)＝2とあわせれば、式が３つで、未知数も３つですから、連立方程式が解けますよね。

お礼

微分でもできるんですか!!
とりあえず見ながら試してみます。

回答No.2

hogehogeninja

重解の時の解法ですね。
基本的な戦略はこれで良いのですが、重解のとき、
f(-2)=2という式は、
「f(x)は(x+2)で割ったときに2余る」とう情報を持っていますが、
(x+2)^2で割ったときのあまりはどれだけか、とうことについてまでは
情報を持っていません。ですので、これだけでは問題の
「f(x)は(x+2)^2で割ったときに-xあまる」という情報を使いきれていません。
ですので、もうすこし別の方法を工夫して、
この部分を式に入れてやる必要があります。

------------------------------------------
一般に、f(x)は実数s,t,uを用いて、
f(x)={(x+2)^2}(x-2)Q(x)+sx^2+tx+u
と書ける。
また、与えられた条件によりf(x)は(x+2)^2で割ったときに-x余る。
このとき、上の式の右辺に注目する。
第一項{(x+2)^2}(x-2)Q(x)は式から明らかなように(x+2)^2で割りきれるので、
残りの項sx^2+tx+uは(x+2)^2で割ったときに-x余る。

ここから、
sx^2+tx+u=a(x+2)^2-x
（aは実数）（これで、(x+2)^2に関する部分の情報を使いました。）

また、
f(2)=a(2+2)^2-2=3であるので、（「(x-2)で割ったときに３あまる」）
a=5/16

以上から、
f(x)={(x+2)^2}(x-2)Q(x)+(5/16)x^2+(5/4)x+53/16

-------------------------------------------------

＞ここで(x＋2)^2を複素数の範囲で因数分解して３つ連立して式を作っても、最終的には解けるのでしょうか？

重解なので解がもう一つほしいところなので、ひねりだそう、というアイデアですね。
問題が重解にあるところに着目してなかなかよい着眼なのですが、
ただ、(x+2)^2(=x^2+4x+4)は、すでに因数分解されていて、「複素数の範囲で」因数分解しても、
(x+2)^2ですね。
複素数の範囲であっても、s、t、uを複素数と置くくらいで、ほとんど同じです。
（もちろん、(x+2)^2が、x^2+x+1のようなときには、複素数の範囲で因数分解して解くのは有効です。
そのあと、x^2-2ix-1=(x-i)^2のように、複素数で因数分解しても重解の場合もあり、そのときにはやはり同じ工夫が必要です。重解は、因数分解した後、さらに待ち構えている別のやっかいな問題というわけです。）

この問題は、f(x)に２や-2など実数を代入して等式を得る方法は、
(x-2)や(x+2)など一次の式で割ったときの余りに関してのみ完全な情報を与えている、
重解の場合は、あまりの部分の式を工夫する必要がありますよ、
というのを気づいてもらうのがポイントでしょうか。

お礼

f(x)={(x+2)^2}(x-2)Q(x)+(5/16)x^2+(1/4)x+5/4
ですよね(^_^;
解法はわかったのでありがとうございました!!

回答No.1

chicago911

ｆ(2)＝3＝4s＋2t＋u
ｆ(－2)＝2＝4s－2t＋u

を整理すると、
(u + 4s) + 2t = 3
(u + 4s) - 2t = 2

になりますね。これは、(u + 4s) と t を二元とする連立方程式になっているので、
(u + 4s) = 5/2
t = 1/4
として解は求まりますが、これ以上は無理ではないですか。

それと (x＋2)^2 を複素数の範囲で因数分解、って、どういう形になるんですか。

補足

tまでは求まったのですが、それ以上いけないんです…
途中から別の考え方をしなくてはいけないとは思ってるんですが思いつきません!!

＞それと (x＋2)^2 を複素数の範囲で因数分解、って、どういう形になるんですか。

ごめんなさい。これは私の勘違いでした。
xの次数を間違えていました。