x*(x+1) = n(n+1)の解

質問

x*(x+1) = n(n+1)の解

x=nもしくはx=-(n+1)が解となるそうですが、実際にはどう解くのでしょうか？

自分で考えたのは両辺の因子の対応付けをして
1) x=n, x+1=n+1
2) x=-n, x+1=-(n+1)
3) x=n+1, x+1=n
4) x=-(n+1), x+1=-n
の4通りを考え、左と右の式が成り立つのは1.と4.の場合だけ、というのですが、
あまりすっきりとした解き方ではありません。

2次方程式の解の公式も使おうとしましたが、虚数が出てしまいうまく導出できませんでした。

もっと簡単な解き方についてご教授よろしくお願いいたします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

因数分解するだけでしょう

x(x+1)=n(n+1)
x^2+x-n(n+1)=0
x^2+((-n)+(n+1))x+(-n)(n+1)=0
(x+(-n))(x+(n+1))=0
x=n, -(n+1)

解の公式にいれたって
虚数なんかはでてきません．
D=1+4n(n+1)=4n^2+4n+1=(2n+1)^2
です．

お礼

ありがとうございます。

解の公式を間違ってました。情けなや。。。です。

回答No.4

drmuraberg

式が対称なので更にいたずらを

X=x+1/2 N=n+1/2 とおき、上式に代入し整理すると

X^2-1/4=N^2-1/4

よって　

X=±N

ここでxとnに戻してやると

x=n　または x=-(n+1)

お礼

綺麗な解法ですね。

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

1)～4) の 4 通りを書いてしまうと、あまりすっきりしなくなる。

自分で解を見つけるときには、1)～4) ぐらいの範囲に解があるだろうと
見当をつけてやってみれば、1) と 4) が見つかる。
それは、それでよいのだが、あくまで余白での計算。答案としては…

[たまたま思いついて] x = n, x = -(n+1) を代入してみると、
この２つが解であることが確認できる。
二次方程式の解は、たかだか２つであることが知れているから、
この２つで全てである。[どうやって解を思いついたかはナイショ。]

という説明がよい。もちろん、[ ] の部分は書かないほうがよい。
もっとも、因数分解してしまえば、説明の必要もないが…

お礼

ありがとうございます。

独学をしておりまして、良い答案を書きたいのでなく、自分がすっきりと分かる解法が得られればと思い質問させていただきました。

回答No.2

f272

> 2次方程式の解の公式も使おうとしましたが、虚数が出てしまいうまく導出できませんでした。

それは計算を間違っているからです。
xに関する2次方程式だから解は2つと分かっているので、「両辺の因子の対応付けをして...」で十分にすっきりしてると思う。

お礼

ありがとうございます。