S=Σ^∞_(n=1) 1/(n^2) と置くとき、不等式 1/(n^

質問

S=Σ^∞_(n=1) 1/(n^2)　と置くとき、不等式　1/(n^2)＜1/{n(n-1)}　が成り立つことを利用して、5/4＜S≦2 を示せ。
はさみうちの原理を使うと思うのですが、よくわからないので、途中式とかも教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

はさみうちの原理は使いません。

S=1/1＋1/4＋・・・
からS＞5/4は明らかです。

1/{n(n-1)}=1/(n-1)-1/n
なので、
S=Σ^∞_(n=1) 1/(n^2)
=1+Σ^∞_(n=2) 1/(n^2)
＜1+Σ^∞_(n=2) {1/(n-1)-1/n}
=1+(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+・・・・
=2

お礼

いつもありがとうございます。細かく説明していただいてあるので、よくわかりました。