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高校数学の整数問題です。
x^10を(x-1)^2で割ったときの余りを求める。 x^10 を (x-1)^2 で割ったときの商を Q(x) とすると、実数 a、b を用いて x^10 = Q(x)(x-1)^2 + ax + b …… (1) (1)の両辺にx = 1を代入すると a + b = 1 …… (2) (1)の両辺を微分すると 10x^9 = Q'(x)(x-1)^2 + 2Q(x)(x-1) + a …… (3) (3)の両辺にx = 1を代入すると a = 10 ∴b = -9 よって求める余りは 10x - 9 ----------------------------- 上の解法をよく考えると、不思議に思うことがあります。 (1)の式は x≠1 として作ったはずです。x = 1 ならば (x-1)^2 は 0 になるのですから。 したがって(1)は x≠1 でなければ成り立たないはずですが、にもかかわらず(1)の両辺にx = 1を代入して a + b = 1 …… (2) を得ています。そうやって解くと確かに解答が得られるのですが、なぜこれが許されるのでしょうか？
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x^10を(x-1)^2で割ったときの余り というのは x^10 = Q(x)(x-1)^2 + ax + b が恒等的に成り立つようなax + b のことです。ここで(x-1)^2は恒等的に0でないことは求められていますが，0になることがあってはならないわけではありません。 整式ではなく数値の余りの話(aをbで割った余り)であればa=bq+rとなるときのqは0でないというだけで済みますが，整式の場合は恒等的に0でない(つまり変数に代入する値によっては0になることがあってもよい)ということを求められています。
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- maskoto
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まず（1）式が作られました そしたら、題意から一旦離れて (1)を恒等式にするための手段を講じます その一つがX＝1代入です これと微分とを合わせて、a、bが決まり (1)は晴れて恒等式となります そしたら、題意に立ち戻ります X＝1を含むXで、 (1)ab決定バージョンは 恒等式なのだから 題意よりX≠1でも (1)ab決定バージョンは成り立つ このような論法かと思われます
お礼
x^10を(x-1)^2を実際に組み立て徐法で計算してみて納得しました（笑）
補足
丁寧な回答まことにありがとうございます。とても参考になりました。 私は高校数学については、ネット上の入試問題をときどき拾って楽しむ程度なので、高校数学の受験参考書を持っていません。そこで、念のために聴いておきたいのですが……。 このテーマは教科書・参考書では剰余の定理、もしくは因数定理で解説されると思います。 現行の文部科学省指定の数学の教科書は、 x^10を(x-1)^2 で割ったときの余りというのは x^10 = Q(x)(x-1)^2 + ax + b が恒等的に成り立つようなax + b のことです。 ここで (x-1)^2 は 恒等的に 0 でないことは求められていますが， 0 になることがあってはならないわけではありま せん。 に類することを明記していますか？ 高校生だったのはずいぶん昔のことですのでよく覚えていませんが、私はこういうことを意識して問題を解いてはいませんでした。今度のような問題は、ほとんど疑問を持つことなく機械的に x = 1 を代入して解いていました。数学の教師からこんな説明を受けた覚えもありません。私が聞き逃していたのかもしれませんが（笑）。