関数fn(x)を

質問

fn(x)=1+x+x^2/2+…+x^n/n(n=1,2,3,…)で定める
nが偶数の時、xの方程式fn(x)=0は実数解を持たないことを示せ

回答を見ると

f'n(x)=1+x+…x^(n-1)=
＞0(x≧0)
(1-x^n)/(1-x)(x＜0)

となっていました
f'n(x)=1+x+…x^(n-1)となるのは分かります
しかし、何故x≧0で1+x+…x^(n-1)＞0となるのかわかりません
今回a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-1)のa=1、r=xの場合ですよね
a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-1)は公式より、a(1-r^n)/(1-r)で、これが成り立たないのはr=1の場合のみのはずです
従って今回の場合は

1+x+…x^(n-1)=
(1-x^n)/(1-x)(x≠1)
n(x=1)

となるはずです
しかし回答ではそうなっていません
これは何故なのでしょうか？

回答No.1

ereserve67

式変形は質問者様の通りです．

この問題は「f_n(x)=0が実数解をもたない」ことを示したいのです．目的があります．

>f'n(x)=1+x+…x^(n-1)=
>＞0(x≧0)
>(1-x^n)/(1-x)(x＜0)

の部分ですがこれは正確には

f_n'(x)=1+x+…x^(n-1)>0(x≧0)
f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)>0(-1<x<0)
f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)=0(x=-1)
f_n'(x)=(1-x^n)/(1-x)<0(x<-1)

ということでしょう．つまりf_n(x)はx=-1で極小かつ最小になるのです．その最小値は

f_n(-1)=1-1+(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+…+(1/(n-2)-1/(n-1))+1/n>0
※n=2のときは()部分はなし

ですから常にf_n(x)>0となりf_n(x)=0は実数解をもたないのです．これを言いたいのです．

お礼

そういう意図があったんですね
回答ありがとうございました