集合と論理

質問

「f(x)=x^2+ax+b とする。∀n∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件を求めよ。」

この問題に対して私は以下のように解答しました。

「(ⅰ)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき
　　f(n)=f(2p)=2*2p^2+2ap+b
　　f(n)が偶数となるとき bが偶数であることが必要
　(ⅱ)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき
　　f(n)=f(2q+1)=2*2q^2+2(a+2)q+a+b+1
　　f(n)が偶数となるとき a+b+1が偶数であることが必要
　(ⅰ),(ⅱ)より
　　f(n)が∀n∈Z に対して偶数となるとき
　　aは奇数、bは偶数であることが必要
　逆にaは奇数、bは偶数 すなわち a=2s+1(s∈Z), b=2t(t∈Z) であるとき
f(x)=x^2+(2s+1)x+2t となり
(a)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき
f(n)=2*2p^2+2p(2s+1)+2t となり f(n)は偶数
　(b)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき
f(n)=2*2q^2+2(2s+3)q+2t+2 となり f(n)は偶数
　となるから f(n)は∀n∈Z に対して偶数となる
　以上よりn∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件は
　aが奇数で、bが偶数であること」

設問に対する証明はこれで良いのでしょうか。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

f(x)＝x^2+ax+b とすると、題意からf(1)＝1＋a＋b、f(2)＝4＋2a＋bも2で割り切れなければならない。
1＋a＋b＝k、4＋2a＋b＝m　（kとmは整数）より、a＝2（m-k）-3、b＝2（2k-m+1）であるから、aは奇数、bは偶数でなければならない。

逆に、a＝2（m-k）-3、b＝2（2k-m+1）の時、f(n)＝n^2＋an＋b＝n^2＋{2（m-k）-3}*n＋2（2k-m+1）＝（n＾2-3n＋2）＋2（mn-kn+2k-m）＝（n-1）*（n-2）＋2（mn-kn+2k-m）。
（n-1）*（n-2）は連続する整数の積から2の倍数、2（mn-kn+2k-m）は当然2の倍数。

以上から、aが奇数、bが偶数である事が必要十分条件である。

回答No.4

Sin0

合っていますよ。take_5さんの回答にあるように必要条件を出す時には、必ずしも一般的なものを代入する必要はないということは、ポイントじゃないですかね。

あとtake_5さんへ
先の問題のレスというか・・が遅れてすいませんね。もう打ち切られて返事できませんでしたけど、あれは勿論質問者へ対してです。「回答に書いてあるように」と書いておいたんですが分かりにくかったですかね。誤解が生じそうな書き方で申し訳ありませんでした。この場を借りさせて頂きますm(-.-)m

回答No.3

take_5

書き込みミス。

＞1＋a＋b＝k、4＋2a＋b＝m　（kとmは整数）より

　　　　　　　↓

1＋a＋b＝2k、4＋2a＋b＝2m　（kとmは整数）より

回答No.1

take_5

面倒なことするね。
題意を満たすaとbの条件を求めて（＝必要条件）、それが十分条件でもある事を示せば簡単なのに。