数列みたいな関数

質問

関数Fn(x)(n=0,1,2,...)をF0(x)=e^x、F1(x)=1+xe^(x/2)、
Fn(x)=1+x^n・e^{x/(n+1)}/(n!)+Σ{k=1→n-1}x^k/(k!)　(n=2,3,....)で定めるとき、
x>0なら、
(1)Fn'(x)<Fn-1(x) (n=1,2,...)
(2)Fn(x)<e^x
の示し方がわかりません。どなたか解説お願いします。
ちなみに、Fのあとの数字は数列の番号（みたいなやつ）です

回答No.2

abyss-sym · ベストアンサー

(1)Fn'(x)<Fn-1(x) (n=1,2,...)　
Fn'(x)=x^ne^{x/(n+1)}/(n+1)!+x^(n-1)e^{x/(n+1)}/(n-1)!+1+Σ{k=1→n-2}x^k/(k!)

Fn-1(x)=1+x^(n-1)・e^{x/(n)}/(n-1)!+Σ{k=1→n-2}x^k/(k!)

Fn-1-Fn'=x^(n-1)・e^{x/(n)}/(n-1)!-x^ne^{x/(n+1)}/(n+1)!-x^(n-1)e^{x/(n+1)}(n-1)!>0 を示せばいい。
両辺に(n-1)!をかけて
x^(n-1)・e^{x/(n)}-x^ne^{x/(n+1)}/n(n+1)-x^(n-1)e^{x/(n+1)}>0
両辺をe^{x/(n+1)}で割ると
x^(n-1)e^{x/n(n+1)}-x^n/n(n+1)-x^(n-1)>0
x>0だから両辺をx^(n-1)で割っても、符号は変化しないので
e^{x/n(n+1)}-x/n(n+1)-1>0
x/n(n+1)=a とすると、最終的に e^a-a-1>0 (a>0) を示せばよい。

ここで、新たに関数 f(a)=e^a-a-1 を考える。
f(0)=0、f'(a)=e^a^-1
a>0 のとき f'(a)>0 だから単調増加。よって、a>0 のとき f(a)>0
したがって、Fn'(x)<Fn-1(x)は成り立つ。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.3

abyss-sym

(2)Fn(x)<e^x
e^xをテイラー展開して、e^x=1+x+x^2/2!+・・・=Σ(k=0～∞)x^k/k!
さらに変形して、e^x=Σ(k=0～n-1)x^k/k!+Σ(k=n～∞)x^k/k!

Fn(x)=1+Σ{k=1～n-1}x^k/k!+x^n・e^{x/(n+1)}/(n!)
　　　=Σ(k=0～n-1)x^k/k!+x^n・e^{x/(n+1)}/(n!)

e^x-Fn(x)=Σ(k=n～∞)x^k/k!-x^n・e^{x/(n+1)}/(n!)

　Σ(k=n～∞)x^k/k!=x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!+x^(n+2)/(n+2)!+・・・・・・・+x^(n+m)/(n+m)!+・・
x^n・e^{x/(n+1)}/(n!)=x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!+x^(n+2)/{n!2!(n+1)^2}+・・+x^(n+m)/{n!m!(n+1)^m}+・・

ここで、x^(n+m)/(n+m)! と x^(n+m)/{n!(n+1)^m} の項の大小を比べます。
x^(n+m)/(n+m)!-x^(n+m)/{n!(n+1)^m}>0 を示せばいいので、変形して1/(n+m)! -1/{n!m!(n+1)^m}>0
n!m!(n+1)^m-(n+m)!>0
両辺をn!m!で割ると、
(n+1)^m-(n+m)(n+m-1)・・・(n+2)(n+1)/m!
=(n+1)×(n+1)×・・・×(n+1)-(n+m)/m×(n+m-1)/(m-1)×(n+m-2)/(m-2)・・×(n+1)>0

最終的に、n+1-(n+m)/m>0 (m≧2)を示せばいい。
n+1-(n+m)/m=(mn-n)/m=n(m-1)/m>0
よって、Fn(x)<e^x

回答No.1

endlessriver

(1)は地道に計算すれば
{e^(x/(n+1))}{1+x/(n(n+1))}<e^(x/n)を示せば良く、これを整理すると結局、1+y<e^yの形に為ります。

(2)Fn(x)とe^xのx^n項までは一致します。
Fn(x)のx^n項以上の項は一般にe^{x/(n+1)}をテイラー展開して{x^(n+m)}/{m!n!(n+1)^m} (m=0,1,2...)。
e^xのx^(n+m)項は{x^(n+m)}/(n+m)! (m=0,1で等しい）
すなわち、この各項比較して大小関係を出します。すなわち
(n+m)/m<(n+1) (m>=2)を示せばよい

お礼

計算はできていたのですが、1+y<e^yの形が見えませんでした。
ありがとうございました。