数列の極限

質問

定数a,bはb>a>0を満たしている。
関数の列F1(x),F2(x),…,Fn(x),…を
F1(x)=bx/x+a , Fn+1(x)=F1(Fn(x)) (n=1,2,3,……）で定める。
極限lim(n→∞）Fn(b)を求めよ。
（06 青学）

途中からわかりません。
まずF2とF3…と求めて、そこからFnを推測して数学的帰納法から
Fnの成立を確認するところまではやったんですが、そこからどうすればいいのかが不明です。
ちなみにFnは
Fn=(b^n)x/{a^n-1+(a^n-2)b+…+a(b^n-2)+b^n-1}x＋a^n　となりました。
（間違ってるかもしれません）

よろしくお願いします。

回答No.1

yamori2009 · ベストアンサー

a^n-2はa^(n-2)ですよね？
Fnの最後の+a^nは分母ですよね？

まず求めたFnのxにbを代入して、求める値は
lim(n→∞){b^(n+1)/(a^nb^0+…+a^0b^n)}
分母は
=Σ[k=0,n]a^n(b/a)^k=(a^n(1-(b/a)^(n+1)))/(1-(b/a))
よって全体は
(b^(n+1)(1-(b/a)))/(a^n-b^(n+1)/a)
=(b^(n+1)(a-b))/(a^(n+1)-b^(n+1))
=(a-b)/((a/b)^(n+1)-1)→(a-b)/(-1)=b-a
です

お礼

ご回答ありがとうごさいます。
画面上で見るとごちゃごちゃしてしまうので、
一度紙に書いて考察してみます。

補足

＞a^n-2はa^(n-2)ですよね？
Fnの最後の+a^nは分母ですよね？

そのとおりです。
うち間違いでした。ごちゃごちゃしてたので間違いに気づきませんでした。
すみません。