高木関数に似た問題です。

質問

高木関数に似たものについての質問です。
実数上の関数fを

f(x)=x (0≦x<1/2), 1-x (1/2≦x<1)
f(x+1)=f(x)

で定義します。すると,級数
Σ2^(-r)・f(4^r・x) r=1～∞の総和
はある連続関数Fに一様収束します。(これは証明済み)

このとき,mは整数,nは自然数としたときに,u=(4m)4^(-n) ,v=(4m+2)4^(-n)とおくと
2^n・F(u) は偶数で 2^n・F(v) は奇数になることを示せ。

という問題です。
計算だけだとは思うのですが,細かい部分であいません。
よろしくお願いします。
２＾ｎ は２のn乗を表しています。

回答No.1

stomachman

F(u) = Σ{r=1～∞}(2^(-r))f((4^r)u)
　　u=4m(4^(-n))
のとき、(2^n)F(u)が偶数。
　どれどれ。n=3, m=1でやってみると、
　　u = (4m)/(4^n) = 4/(4^3) = 1/16
だから
　　(4^r)u = (4^r)/16
すると
　　r≧2 ⇒ (4^r)/16 ∈ Z （Zは整数の集合）
である。一方、fの定義から、任意の整数zについて f(z)=0 であるから、
　　r≧2 ⇒ f((4^r)u)=0
なので
　　F(u) = Σ{r=1～1}(2^(-r))f((4^r)u)
　　= (2^(-1))f((4^1)u)
　　= (1/2)f(4/16) = (1/2)(1/4) = 1/8
かくて、
　　(2^n)F(u) = (2^3)/8 = 1
偶数になんないじゃん。