3次関数f(x)=x^3+ax^2+bxの

質問

3次関数f(x)=x^3+ax^2+bxは極大値と極小値をもち、
それらを区間-1≦x≦1内でとるものとする。
この条件を満たす実数の組(a,b)の存在範囲を図示せよ。

教えてください。

一度質問が出てる問題なのですが、
解説で
題意から f'(x)=0 が -1≦x≦1 に相異2実数解をもてばよいので
-1<-(1/3)a<1 かつ f((-1/3)a)<0 かつ f'(-1)≦0 かつ f'(1)≦0
⇔ -3<a<3 かつ b<(1/3)a^2 かつ b≧2a-3 かつ b≧-2a-3

となっているのですが、 軸の ｘ座標を 示している条件
-1<-(1/3)a<1 はどこからでてくるのでしょうか。
この条件の意味するものはなんでしょうか。
それと、どうやって思いつけばよいのでしょうか？
（ その他の条件
b<(1/3)a^2 ・・・ 導関数が解を２つもたなければならない。
かつ b≧2a-3 ・・・極大値 ｘ＝－１にあるとき
かつ b≧-2a-3 の ・・・極小値が ｘ＝１ にあるとき）
はわかるのですが・・・・・・

よろしくお願いいたします

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

f'(x)=3x^2+2ax+bが-1≦ｘ≦1で2つの実数解を持てばよいというのは大丈夫なんですね。

これを満たすグラフを書いてみればいいです。（添付図参照）
すると、ｘ軸と2つの交点を持つことより、Ｄ＞0（または頂点のｙ座標が<0と考えてもいいです。またはf'(-a/3)<0と考えてもいいです。）
それと、
f'(-1)≧0かつf'(1)≧0

これだけでは不十分で、軸を定めないといけません。
軸はｘ＝-a/3とでます。
これが-1＜-a/3<1を満たしていなければ添付図のようになりません。（軸がこれを満たしていないと例えば添付図の左下のようなグラフを排除できません）

この条件の思いつき方ですが、y=f'(x)がどういうグラフになれば条件を満たすかを書いて、そのグラフになる条件を見つけ出します。

お礼

なるほど。軸の条件がないと
不十分なことがわかりました。
ありがとうございます。